Question

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60º．

    （1）求⊙O的直径；（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；

（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为，连结EF，当为何值时，△BEF为直角三角形．

Answer

（1）4（2）

【解析】（1）∵AB是⊙O的直径（已知）∴∠ACB＝90º（直径所对的圆周角是直角）

∵∠ABC＝60º（已知）

∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º（三角形的内角和等于180º）

∴AB＝2BC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半）即⊙O的直径为4cm．

（2）如图10（1）CD切⊙O于点C，连结OC，则OC＝OB＝1/2·AB＝2cm．

∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径）∴∠OCD＝90º（垂直的定义）

∵∠BAC＝ 30º（已求）

∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º（在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）

∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º（三角形的内角和等于180º）

∴OD＝2OC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半）

∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm）

∴当BD长为2cm，CD与⊙O相切．

（3）根据题意得：BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；

如图10（2）当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC 

∴BE：BA＝BF：BC

即：（4－2t）：4＝t：2  解得：t＝1

如图10（3）当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA 

∴BE：BC＝BF：BA

即：（4－2t）：2＝t：4   解得：t＝1.6 

∴当t＝1s或t＝1.6s时，△BEF为直角三角形．

（1）根据已知条件知：∠BAC=30°，已知AB的长，根据直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半可得AB的长，即⊙O的直径；

（2）根据切线的性质知：OC⊥CD，根据OC的长和∠COD的度数可将OD的长求出，进而可将BD的长求出；

（3）应分两种情况进行讨论，当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，根据△BEF∽△BAC，可将时间t求出；

当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，根据△BEF∽△BCA，可将时间t求出．