2012-2013学年福建省泉州市安溪八中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合M={x||x|≤2}，N={x|e^x≥1}，则M∩N=（ ）
A．[0，+∞）
B．[0，2]
C．[0，1]
D．[1，2]

2. 难度：中等

下列命题中是假命题的是（ ）
A．∀x∈（0，），x＞sin
B．∃x∈R，lgx=0
C．∀x∈R，3^r＞0
D．∃x∈R，sinx+cosx=2

3. 难度：中等

为了得到函数y=sin2x的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位
B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位

4. 难度：中等

如图，圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播．若D是DFE弧与x轴的交点，设OD=x（0≤x≤a），圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为y（图中阴影部分），则函数y=f（x）的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知实数x，y满足则z=2x+y的最大值是（ ）
A．5
B．-1
C．2
D．

7. 难度：中等

设函数，其中是非零向量，则“函数f（x）的图象是一条直线”的充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数，则函数F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．3

9. 难度：中等

已知f（x）是R上的偶函数，若将f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若f（2）=-1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）=（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．-1004.5

10. 难度：中等

已知函数f（x）=|log₂|x-1||，且关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0有6个不同的实数解，若最小实数解为-3，则a+b的值为（ ）
A．-3
B．-2
C．0
D．不能确定

二、填空题

11. 难度：中等

平面向量=（2，1），=（m，-2），若与共线，则m的值为    ．

12. 难度：中等

已知α是第二象限角，，则sin2α=    ．

13. 难度：中等

函数f（x）对一切实数x都满足f（1+x）=f（1-x），f（x）=0有3个实根，则这3个实根之和为    ．

14. 难度：中等

已知，设，则在y轴右侧由函数f（x）的图象与x轴、直线x=e所围成的封闭图形的面积为    ．

15. 难度：中等

设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤f（）|对一切x∈R恒成立，则
①f（）=0；
②|f（）|＜|f（）|；
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
⑤经过点（a，b）的所有直线均与函数f（x）的图象相交．
以上结论正确的是    （写出所有正确结论的编号）．

三、解答题

16. 难度：中等

已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|5-a＜x＜a}．
（1）求A∪B，（∁_RA）∩B；
（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．

17. 难度：中等

在△ABC中，A，B，C分别是三边a，b，c的对角．设=（cos，sin ），=（cos，-sin ），，的夹角为．
（Ⅰ）求C的大小；
（Ⅱ）已知c=，三角形的面积S=，求a+b的值．

18. 难度：中等

围建一个面积为360m²的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：米）．
（1）将修建围墙的总费用y表示成x的函数；
（2）当x为何值时，修建此矩形场地围墙的总费用最小？并求出最小总费用．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+a²x+2b-a³，当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（-2，6）时，f（x）＞0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）设，则当k 取何值时，函数F（x）的值恒为负数？

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）求实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）求a的值；
（2）若g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]及λ所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围；
（3）讨论关于x的方程的根的个数．

21. 难度：中等

（1）选修4-2：矩阵与变换
二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x-y=4，求l的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．
（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．
（3）选修4一5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|+|x+3|．
（Ⅰ）求x的取值范围，使f（x）为常数函数；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）-a≤0有解，求实数a的取值范围．