2011-2012学年江苏省南通市如东县栟茶中学高三周日自主练习（三）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若A={1，2，3}，B={x∈R|x²-ax+1=0，a∈A}，则A∩B=B时a的值是    ．

2. 难度：中等

设z的共轭复数是，若，，则等于    ．

3. 难度：中等

如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分，则剩余分数的方差为    ．

4. 难度：中等

已知向量的夹角为，且，，在△ABC中，，D为BC边的中点，则=    ；

5. 难度：中等

在等式tan95°-tan35°-=tan95°tan35°中，根号下的△表示的正整数是    ．

6. 难度：中等

已知函数f（x）=，则函数f（x）在点（0，f（0））处切线方程为    ．

7. 难度：中等

命题“存在x∈R，使e^|x-1|-m≤0”的否定是真命题，得m的取值范围是（-∞，a），则实数a的值是    ．

二、解答题

8. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2^x+2x+b（b为常数），则：f（-1）=______．

三、填空题

9. 难度：中等

抛掷一颗骰子的点数为a，得到函数，则“y=f（x）在[0，4]上至少有5个零点”的概率是     ．

10. 难度：中等

给出命题：
（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；
（2）设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
（3）已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；
（4）若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心；
（5）a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．
其中正确的命题是    （只填序号）．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx+e^x（a＞0），若f（3x）＜f（x²+2），则实数x的取值范围是    ．

12. 难度：中等

点G是△ABC的重心，，（λ，μ∈R），若∠A=120°，，则最小值为    ．

13. 难度：中等

不等式a²+3b²≥λb（a+b）对任意a，b∈R恒成立，则实数λ的最大值为    ．

14. 难度：中等

给出定义：若m-＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，]；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）在[-，]上是增函数．
其中正确的命题的序号    ．

四、解答题

15. 难度：中等

如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交与点A，与钝角α的终边OB交于点B（x_B，y_B），设∠BAO=β．
（1）用β表示α； 
（2）如果，求点B（x_B，y_B）的坐标；
（3）求x_B-y_B的最小值．

16. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中．
（1）若BB₁=BC，B₁C⊥A₁B，证明：平面AB₁C⊥平面A₁BC₁；
（2）设D是BC的中点，E是A₁C₁上的一点，且A₁B∥平面B₁DE，求的值．

17. 难度：中等

已知不等式（x-1）²≤a²，（a＞0）的解集为A，函数的定义域为B．
（Ⅰ）若A∩B=φ，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明函数的图象关于原点对称．

18. 难度：中等

如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，OB与OM之间的夹角为θ．
（I）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数．
（II）若R=45m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？（精确到0.01m²）

19. 难度：中等

设函数，其中a为常数．
（1）证明：对任意a∈R，y=f（x）的图象恒过定点；
（2）当a=-1时，判断函数y=f（x）是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（3）若对任意a∈（0，m]时，y=f（x）恒为定义域上的增函数，求m的最大值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x，直线l的方程为y=kx+b．
（1）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；
（2）若f（x）≥kx+b对任意x∈R成立，求实数k、b应满足的条件．

21. 难度：中等

在数字1，2，3与符号“+”，“-”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数有多少？

22. 难度：中等

已知的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3，求展开式中的常数项．

23. 难度：中等

某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．
（1）求该学生考上大学的概率．
（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）-2g（）＜（b-a）ln2．