2010-2011学年吉林省吉林市高三（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=（ ）
A．{x|x＞-1}
B．{x|x＜1}
C．{x|-1＜x＜1}
D．∅

2. 难度：中等

已知复数，则它的共轭复数等于（ ）
A．2-i
B．2+i
C．-2+i
D．-2-i

3. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．23

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足a₂=3，a_n-1=17，（n≥2），S_n=100，则n的值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

5. 难度：中等

如图是将二进制数111111_（2）化为十进制数的程序框图，判断框内填入条件是（ ）

A．i＞5
B．i＞6
C．i≤5
D．i≤6

6. 难度：中等

一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
A．4π
B．8π
C．
D．

7. 难度：中等

某公司共有六个科室（部门），有4名大学毕业生，要安排到该公司的两个部门且每个部门安排2名，则不同的安排方案种数为（ ）
A．A₆²C₄²
B．
C．A₆²A₄²
D．2A₆²

8. 难度：中等

设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若a，b与α所成的角相等，则α∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b

9. 难度：中等

已知下列命题：
①已知p、q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“^¬p∧^¬q”为真命题；
②已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤x≤4）=0.6826，则P（x＞4）=0.1587；
③“”是“一元二次方程x²+x+m=0有实根”的必要不充分条件；
④命题“若a＞b，则2^a＞2^b-1”的否命题为：若a≤b，则2^a≤2^b-1．
其中不正确的命题个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

10. 难度：中等

定义一种运算（a，b）*（c，d）=ad-bc，若函数，x是方程f（x）=0的解，且0＜x₁＜x，则f（x₁）的值（ ）
A．恒为正值
B．等于0
C．恒为负值
D．不大于0

11. 难度：中等

双曲线的一条渐近线与抛物线y=x²+1有公共点，则双曲线的离心率e的取值范围（ ）
A．
B．[5，+∞）
C．
D．

12. 难度：中等

如图，四点A、B、C、D共圆，AC与BD相交于M，，，∠ADB=60°，∠CBD=15°，则AB的长为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

设向量，，满足，且，=3，=4，则=    ．

14. 难度：中等

若，则（1-x）ⁿ的展开式中x²项系数为    ．

15. 难度：中等

已知2a+3b=6，a＞0，b＞0则的最小值是    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sin²x+cosx•sinx，在区间[0，π]上任取一点x，则的概率为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n+1=2S_n+n+1，n∈N．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ），设数列{b_n}的前n项和为T_n，n∈N^*，试判断T_n与2的关系，并说明理由．

18. 难度：中等

已知函数f₁（x）=x，f₂（x）=x²，f₃（x）=x³，f₄（x）=sinx，f₅（x）=cosx，f₆（x）=lg（|x|+1），将它们分别写在六张卡片上，放在一个盒子中，
（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得的函数是奇函数的概率；
（Ⅱ）从盒子中任取两张卡片，已知其中一张卡片上的函数为奇函数，求另一张卡片上的函数也是奇函数的概率；
（Ⅲ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A₁A=2，
（Ⅰ）证明：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）若棱AA₁上存在一点P，使得，当二面角A-B₁C₁-P的大小为30时，求实数λ的值．

20. 难度：中等

已知椭圆E：的右焦点F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且，|AB|最小值为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若圆：的切线l与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，问：OP与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数g（x）=ae^x-1-x²+bln（x+1），a，b∈R
（Ⅰ）若a=0，b=1，求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若g（x）的图象在（0，g（0））处与直线x-ey+1=0相切，
（ⅰ）求a、b的值；
（ⅱ） 求证：∀x∈（-1，1），．

22. 难度：中等

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．

23. 难度：中等

选做题：坐标系与参数方程
已知直线l经过点P（2，3），倾斜角α=，
（Ⅰ）写出直线l的参数方程．
（Ⅱ）设l与圆x²+y²=4相交与两点A、B，求点P到A、B两点的距离之和．

24. 难度：中等

选做题：不等式选讲
（Ⅰ） 设a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=m，求证++≥．
（Ⅱ） 已知a，b都是正数，x，y∈R，且a+b=1，求证：ax²+by²≥（ax+by）²．