2010-2011学年北京市西城区外国语学校高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x|x²-x＜0}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B等于（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|0＜x＜3}
C．{x|1＜x＜3}
D．∅

2. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂+a₄=6，则S₅等于（ ）
A．10
B．12
C．15
D．30

3. 难度：中等

在同一坐标系中画出函数y=log_ax，y=a^x，y=x+a的图象，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

命题“存在x∈R，2^x≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，＞0
B．存在x∈R，≥0
C．对任意的x∈R，2^x≤0
D．对任意的x∈R，2^x＞0

5. 难度：中等

若向量=（1，2），=（-3，4），则•（+）等于（ ）
A．20
B．（-10，30）
C．54
D．（-8，24）

6. 难度：中等

把函数y=sinx x∈R 的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（ ）
A． x∈R
B． x∈R
C． x∈R
D． x∈R

7. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=（ ）
A．4
B．3
C．0
D．不能确定

8. 难度：中等

一次研究性课堂上，老师给出了函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；
②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）
③若规定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），则对任意n∈N*恒成立．
你认为上述三个命题中正确的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

二、填空题

9. 难度：中等

=    ．

10. 难度：中等

函数是幂函数，当x＞0时，f（x）单调递减，则m=    ．

11. 难度：中等

已知tanα=2，则=    ．

12. 难度：中等

已知，，、的夹角为60°，则=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，则ω=    ；函数f（x）在区间上的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=3^0.3•f（3^0.3），b=（log_π3）•f（log_π3），．则a，b，c的大小关系是     ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=2cos²x+asinxcosx，．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间．

16. 难度：中等

已知{a_n}是一个等差数列，且a₂=1，a₅=-5．
（Ⅰ）求{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求{a_n}前n项和S_n的最大值．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．

18. 难度：中等

已知：函数（其中常数a＜0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域及单调区间；
（Ⅱ）若存在实数x∈（a，0]，使得不等式成立，求a的取值范围．

19. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）证明不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．

20. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥2，f（1）=3； 若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2．
（1）求f（0）的值；
（2）试求函数f（x）的最大值；
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，，n∈N^*，求证：f（a₁）+f（a₂）+∧+f（a_n）≤．