2011年北京四中高三统练数学试卷1（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线y²=4x的焦点坐标是（ ）
A．（4，0）
B．（2，0）
C．（1，0）
D．

2. 难度：中等

已知sina=，则cos（π-2a）=（ ）
A．-
B．-
C．
D．

3. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

复数等于（ ）
A．i
B．-i
C．
D．

5. 难度：中等

若k∈R，则“k＞3”是“方程-=1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=（ ）
A．4
B．2
C．-2
D．-4

7. 难度：中等

在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是（ ）
A．
B．4
C．
D．2

8. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线与圆（x-3）²+y²=16相切，则p的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4

9. 难度：中等

若数列{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃．a₂₀₀₄＜0，则使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是：（ ）
A．4005
B．4006
C．4007
D．4008

10. 难度：中等

函数f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②；③f（1-x）=1-f（x）．则=（ ）
A．
B．
C．1
D．

二、填空题

11. 难度：中等

抛物线x²=y的准线方程是    ．

12. 难度：中等

若△ABC的内角A满足，则sinA+cosA=    ．

13. 难度：中等

函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=-5，则f[f（5）]=    ．

14. 难度：中等

直线y=x-3与抛物线y²=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为    ．

15. 难度：中等

曲线和y=x²在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是    ．

16. 难度：中等

已知⊙O的方程是x²+y²-2=0，⊙O'的方程是x²+y²-8x+10=0，由动点P向⊙O和⊙O'所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（2x-）+2sin²（x-） （x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求使函数f（x）取得最大值的x的集合．

18. 难度：中等

设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1（x∈R，t＞0）．
（I）求f （x）的最小值h（t）；
（II）若h（t）＜-2t+m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）证明不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．

20. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．