2012-2013学年福建省高三下学期第二次联考理数学试卷

一、选择题

1. 难度：简单

如图，在复平面内，若复数对应的向量分别是，则复数所对应的点位于(    )

A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

2. 难度：简单

设等比数列的公比，前项和为，则的值为（   ）

A．       B．      C．    D．

3. 难度：简单

已知向量,,,则（     ）

A．       B．  C．     D．

4. 难度：简单

一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的体积是（　　）

A．      B．      C．       D．

5. 难度：简单

已知为两条不同的直线，为一个平面.若，则“”是“”的(    )

A.充分不必要条件  　  B.必要不充分条件

C. 充要条件  　     　D. 既不充分又不必要条件

6. 难度：简单

某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如下表：

零件数（个）	10	20	30
加工时间（分钟）	21	30	39

现已求得上表数据的回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（　　）

A．84分钟       B．94分钟       C．102分钟     D．112分钟

7. 难度：简单

函数具有下列特征：，则的图形可以是下图中的（　　）

8. 难度：简单

函数是定义域为R的奇函数，且时，，则函数的零点个数是（   ）

A．1        B．2           C．3            D．4

9. 难度：困难

已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，判断的形状．（   ）

A．直角三角形   B．等边三角形            C．钝角三角形            D．等腰直角三角形

10. 难度：简单

已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“集合”. 给出下列4个集合：

①            ②

③          ④

其中所有“集合”的序号是（     ）

A．②③     B．③④     C．①②④     D．①③④

二、填空题

11. 难度：简单

在的展开式中的常数项为p，则            .

12. 难度：简单

已知实数满足若目标函数取得最小值时最优解有无数个，则实数的值为    　　.

13. 难度：简单

定义一种运算，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义.那么，按照运算“”的含义，计算     ．

14. 难度：中等

已知命题：在平面直角坐标系中，的顶点和，顶点B在椭圆上，则（其中为椭圆的离心率）．试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题：在平面直角坐标系中，的顶点和，顶点B在双曲线上，则                  ．

15. 难度：简单

对于个互异的实数，可以排成行列的矩形数阵，右图所示的行列的矩形数阵就是其中之一．将个互异的实数排成行列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为，并设其中最小的数为；把每列中最小的数选出，记为，并设其中最大的数为.

两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下：

①和必相等；        ②和可能相等；

③可能大于；        ④可能大于．

以上四个结论中，正确结论的序号是__________________（请写出所有正确结论的序号）．

三、解答题

16. 难度：中等

为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:.

(I)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数;

(II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为,求的分布列及数学期望.

17. 难度：困难

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B = 90⁰，D为棱BB₁上一点，且面DA₁ C⊥面AA₁C₁C.求证：D为棱BB₁中点；（2）为何值时，二面角A －A₁D － C的平面角为60⁰.

18. 难度：简单

已知向量向量与向量的夹角为，且.

（1）求向量 ；  

（2）若向量与共线，向量，其中、为的内角，且、、依次成等差数列，求的取值范围．

19. 难度：中等

如图所示，设抛物线的焦点为，且其准线与轴交于，以，为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为P.

（1）当时，求椭圆的方程；

（2）是否存在实数，使得的三条边的边长是连续的自然数？若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由.

20. 难度：困难

如下图，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作 轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，，以此类推，过点的切线 与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N）．

(1) 求、及数列的通项公式；(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为，求证：N.

21. 难度：简单

已知矩阵A＝  把点（1，1）变换成点（2，2）

（Ⅰ）求的值

（Ⅱ）求曲线C：在矩阵A的变换作用下对应的曲线方程.

22. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为(t为参数，0≤＜).

(Ⅰ)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；

(Ⅱ)若直线经过点(1,0)，求直线被曲线C截得的线段AB的长.

23. 难度：简单

已知函数,, 若恒成立，实数的最大值为.

（1）求实数.

（2）已知实数满足且的最大值是，求的值．