2012-2013学年福建省高三下学期第二次联考文数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

函数的定义域为（     ）

A．      B．      C．      D．

2. 难度：简单

若复数(其中是虚数单位)，则=（     ）

A．－2         B．－1          C．0         D．2

3. 难度：简单

某中学高三（1）班有学生55人，现按座位号的编号采用系统抽样的方法选取5名同学参加一项活动，已知座位号为5号、16号、27号、49号的同学均被选出，则被选出的5名同学中还有一名的座位号是（     ）

A．36          B．37             C．38          D．39

4. 难度：简单

若角的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为（     ）

A．        B．      C．       D．

5. 难度：简单

已知平面向量a、b均为单位向量，且a与b的夹角为120⁰，则|2a＋b|=（     ）

A．3           B．7          C．         D．

6. 难度：简单

某算法程序如图所示，执行该程序，若输入4，则输出的S为（     ）

A．36          B．19         C．16          D．10

7. 难度：简单

一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图都是半径为2的圆，则这个几何体的体积是（     ）

A．        B．       C．       D．

8. 难度：简单

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，A=60⁰，则=（     ）

A．         B．        C．        D．

9. 难度：简单

下列命题中，假命题的是（     ）

A．     B．

C．           D．

10. 难度：简单

以双曲线的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是（     ）

A．         B．

C．         D．

11. 难度：中等

如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，动点E、F在BC₁上，动点P、Q分别在AD₁、CD上，若，，则四面体P－EFQ的体积（     ）

A．与x、y都有关         B．与x有关、与y无关

C．与x、y都无关         D．与x无关、与y有关

12. 难度：中等

设函数的定义域为D，如果，使 (C为常数成立，则称函数在D上的均值为C. 给出下列四个函数：①；②；③；④，则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是（     ）

A．1          B．2           C．3            D．4

二、填空题

13. 难度：简单

=           ．

14. 难度：简单

记等差数列的前项和为，若，则直线的斜率为=          ．

15. 难度：简单

如图，曲线AC的方程为，为估计椭圆的面积，现采用随机模拟方式产生的200个点，经统计，落在图中阴影部分的点共157个，则可估计椭圆的面积是          ．（精确到0.01）

16. 难度：简单

若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于，属于；

②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于．则称是集合X上的一个拓扑．已知集合X =，对于下面给出的四个集合：

①；

②；

③；

④．

其中是集合X上的拓扑的集合的序号是            ．

三、解答题

17. 难度：简单

已知为数列的前项和，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前n项和．

18. 难度：简单

某电视台2012年举办了“中华好声音”大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班。下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：

赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”。

（Ⅰ）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；

从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率．

19. 难度：简单

已知函数．

（Ⅰ）求函数在上的值域；

（Ⅱ）若对于任意的，不等式恒成立，求．

20. 难度：中等

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=3，点E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF平面EFDC，设AD中点为P.

（Ⅰ）当E为BC中点时，求证：CP∥平面ABEF；

（Ⅱ）设BE=x，当x为何值时，三棱锥A－CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．

21. 难度：中等

已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，△AF₁F₂为正三角形，且以线段F₁F₂为直径的圆与直线相切.

（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率e；

（Ⅱ）若点P为焦点F₁关于直线的对称点，动点M满足. 问是否存在一个定点T，使得动点M到定点T的距离为定值？若存在，求出定点T的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

22. 难度：困难

已知函数的导函数是，在处取得极值，且.

（Ⅰ）求的极大值和极小值；

（Ⅱ）记在闭区间上的最大值为，若对任意的总有成立，求的取值范围；

（Ⅲ）设是曲线上的任意一点．当时，求直线OM斜率的最小值，据此判断与的大小关系，并说明理由．