2012-2013学年湖南省怀化市高三第二次模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

的值为    （   ）

A．大于0         B．小于0         C．等于0         D．不存在

2. 难度：简单

已知集合则 的值为（   ）

A．21  　　         B．8　　         C．7              D．6

3. 难度：简单

如图是一个空间几何体的三视图，其体积为，则图中的值是    （   ）

A．5  　　         B．4                C．3  　　        D．2

4. 难度：简单

实数的值由右上面程序框图算出，则二项式展开式的常数项为    （   ）

A.                  B.

C.                  D.

5. 难度：简单

若数列满足，则的值为    （   ）

A．2          B．           C．１         D．

6. 难度：简单

在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数. 给出下列4个函数：

①；②；③；④.

其中是一阶格点函数的是    （   ）

A．①③          B. ②③           C. ③④            D. ①④

7. 难度：中等

将一枚骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为，第二次朝上一面的点数为，则函数在上为减函数的概率是    （   ）

A．      B．       C．       D．

8. 难度：中等

下图展示了一个由区间（其中为一正实数)到实数集R上的映射过程：区间中的实数对应线段上的点，如图1；将线段围成一个离心率为的椭圆，使两端点、恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2 ；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在轴上，已知此时点的坐标为，如图3，在图形变化过程中，图1中线段的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度.图3中直线与直线交于点，则与实数对应的实数就是，记作,

现给出下列5个命题

①；   ②函数是奇函数；③函数在上单调递增；   ④.函数的图象关于点对称；⑤函数时AM过椭圆的右焦点.其中所有的真命题是:    （   ）

A.①③⑤          B.②③④                       C.②③⑤             D.③④⑤

二、填空题

9. 难度：简单

以极坐标系中的点为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是      ．

10. 难度：简单

函数 的最大值是　　　　．

11. 难度：简单

如图，圆的半径为3，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，，则切线的长为           .

12. 难度：简单

如图，函数的图象在点处的切线方程为，则＝       ．

13. 难度：简单

已知求      .

14. 难度：简单

若不等式组所确定的平面区域的面积为0，则实数的取值范围为     .

15. 难度：简单

定义在R上的函数，满足，，若且，则=____.

16. 难度：简单

用n个不同的实数可以得到个不同的排列，每个排列为一行，写出一个行的数阵，对第行，记， . 例如：用1,2,3，可得数阵如图所示,则= ____   ；那么在用1,2,3,4,5形成的数阵中，=      .

三、解答题

17. 难度：简单

已知函数

（Ⅰ）求函数的最小值和最小正周期；

（Ⅱ）设的内角、、的对边分别为、、且，，若向量与向量共线，求、的值.

18. 难度：简单

某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示。

组号	分组	频数	频率
第一组	[160,165)	5	0.05
第二组	[165,170)	35	0.35
第三组	[170,175)	30	a
第四组	[175,180)	b	0.2
第五组	[180,185)	10	0.1

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；考生李翔的笔试成绩为178分，但不幸没入选这100人中，那这样的筛选方法对该生而言公平吗？为什么？

（Ⅲ）在（2）的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为，求的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，四面体中，、分别是、的中点，

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求异面直线与所成角余弦值的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

20. 难度：中等

怀化市某棚户区改造工程规划用地近似为图中半径为的圆面，图中圆内接四边形为拟定拆迁的棚户区，测得百米，百米，百米.

（Ⅰ）请计算原棚户区的面积及圆面的半径；

（Ⅱ）因地理条件的限制，边界，不能变更，而边界，可以调整，为了提高棚户区改造建设用地的利用率，请在圆弧上求出一点，使得棚户区改造的新建筑用地的面积最大，并求最大值.

21. 难度：中等

在直角坐标平面内，y轴右侧的一动点P到点的距离比它到轴的距离大

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设为曲线上的一个动点，点，在轴上，若为圆的外切三角形，求面积的最小值.

22. 难度：困难

已知函数

（Ⅰ）若函数在其定义域上为单调函数,求的取值范围；

（Ⅱ）若函数的图像在处的切线的斜率为0，，已知求证：

（Ⅲ）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明理由.