2016届浙江省宁波市“十校”高三联考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设，则“”是“”（   ）

A．充分不必要条件       B．必要不充分条件 

C．充要条件             D．既不充分也不必要条件

2. 难度：简单

已知集合，，则集合且为                                                                      （   ）

A.             B．             C．           D．

3. 难度：简单

如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（  ）

A．       B.         C.           D.

4. 难度：中等

已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），若直线的倾斜角为，则等于（ ）

A．              B．             C．                D．

5. 难度：中等

已知命题：函数的最小正周期为；命题：若函数为奇函数，则关于对称，则下列命题是真命题的是（   ）

A．          B．         C．        D．

6. 难度：中等

设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是（ ）

A．若，则数列有最大项

B．若数列有最大项，则

C．若数列是递增数列，则对任意，均有

D．若对任意，均有，则数列是递增数列

7. 难度：中等

已知为三角形内一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为 （   ）

A.             B.             C.           D.

8. 难度：困难

已知函数，，，若图象上存在，两个不同的点与图象上，两点关于轴对称，则的取值范围为（   ）

A．    B．   C．     D．

二、填空题

9. 难度：简单

已知圆，则圆心坐标为    ；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为      .

10. 难度：简单

已知单调递减的等比数列满足：，且是，的等差中项，则公比    ，通项公式为    .

11. 难度：简单

已知函数，，则函数的最小值为    ， 函数的递增区间为    .

12. 难度：中等

已知实数，，且点在不等式组表示的平面区域内，则的取值范围为      ，的取值范围为    .

13. 难度：简单

已知，，且有，，则      .

14. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线的右支于，两点，若，且，则该双曲线的离心率为      .

15. 难度：简单

如图，正四面体的棱在平面上，为棱的中点.当正四面体绕旋转时，直线与平面所成最大角的正弦值为      .

三、解答题

16. 难度：中等

在中，角，，的对边分别是，，，且向量与向量共线.

（1）求；

（2）若，，，且，求的长度.

17. 难度：困难

如图，三棱柱中，，分别为和的中点，，侧面为菱形且，，．

（1）证明：直线平面；

（2）求二面角的余弦值．

18. 难度：简单

对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”，已知函数.

（1）若，，是“可等域函数”，求函数的“可等域区间”；

（2）若区间为的“可等域区间”，求，的值.

19. 难度：困难

已知椭圆的左右顶点，，椭圆上不同于，的点，，两直线的斜率之积为，面积最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若椭圆的所有弦都不能被直线垂直平分，求的取值范围．

20. 难度：困难

设各项均为正数的数列的前项和满足.

（1）若，求数列的通项公式；

（2）在（1）的条件下，设，数列的前项和为，求证：.