Question

已知椭圆的左右顶点，，椭圆上不同于，的点，，两直线的斜率之积为，面积最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若椭圆的所有弦都不能被直线垂直平分，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）根据题意可列出关于，，的方程，从而求解；（2）联立直线与椭圆的方程，首先求得能够垂直平分时的取值范围，再取补集即可求解.

试题解析：（1）由已知得，，，∵,两直线的斜率之积为，

∴，又∵的面积最大值为，

∴，∴椭圆的方程为：；（2）假设存在曲线的弦能被直线垂直平分，当显然符合题，当时，设，，中点为可设：与曲线联立得：，

∴得……（1）式，

由韦达定理得：，∴，代入得

在直线上，得……（2）式，

将（2）式代入（1）式得：，得，即且，

综上所述，的取值范围为.

考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.分类讨论的数学思想．