2012-2013学年江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学高三（上）周日数学试卷（8）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若A={x∈Z|2≤2^x≤8}，B={x∈R|log₂x＞1}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

设p：|4x-3|≤1；q：（x-a）（x-a-1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是    ．

3. 难度：中等

已知复数z₁=1-i，z₂=1+i，那么=    ．

4. 难度：中等

若角α终边落在射线y=-x（x≥0）上，则=    ．

5. 难度：中等

用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是    ．

6. 难度：中等

已知是定义在（-∞，-1]∪[1，+∞）上的奇函数，则f（x）的值域为    ．

7. 难度：中等

给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是    ．
①若cosα=cosβ，则α-β=2kπ，k∈Z；②函数的图象关于x=对称；③函数y=cos（sinx）（x∈R）为偶函数，④函数y=sin|x|是周期函数，且周期为2π．

8. 难度：中等

把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图所示），则第七个三角形数是    ．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-kx在区间（-3，-1）上不单调，则实数k的取值范围是    ．

10. 难度：中等

设实系数一元二次方程x²+ax+2b-2=0有两个相异实根，其中一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，则的取值范围是    ．

11. 难度：中等

已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N⁺，对任意m，n∈N⁺都有：（1）f（m，n+1）=f（m，n）+2；（2）f（m+1，1）=2f（m，1）．则f（11，11）的值为    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，若数列{}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₀的值    ．

13. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅若存在两项a_m、a_n使得，则的最小值为    ．

14. 难度：中等

在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知集合A={x|y=}，集合B={x|y=lg（-x²-7x-12）}，集合C={x|m+1≤x≤2m-1}．
（1）求A∩B；
（2）若A∪C=A，求实数m的取值范围．

16. 难度：中等

设函数
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，求b，c的长．

17. 难度：中等

已知函数g（x）=ax²-2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，求实数k的取值范围．

18. 难度：中等

如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，tanθ=t．
（1）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值．
（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少（平方百米）？

19. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若函数，求函数f（n）的最小值；
（3）设表示数列{b_n}的前项和．试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

20. 难度：中等

已知f（x）=ax-ln（-x），x∈（-e，0），，其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a=-1时，f（x）的单调性、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，．
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．