2012-2013学年安徽省安庆市望江中学高三（上）第五次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的的共轭复数是（ ）
A．
B．-
C．i
D．-i

2. 难度：中等

定义运算（ ）
A．（0，1）
B．（-∞，1）
C．（0，1]
D．[1，+∞）

3. 难度：中等

已知数列{a_n}满足3a_n+1+a_n=4（n∈N*）且a₁=9，其前n项和为S_n，则满足不等式|S_n-n-6|＜的最小整数n是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

4. 难度：中等

函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=（ ）
A．10
B．8
C．
D．

5. 难度：中等

设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n； 
②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
③若m上α，m⊥n，则n∥α；    
④若n⊥α，n⊥β，则β∥α．
其中，真命题的序号是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

6. 难度：中等

已知O为原点，若点A、B的坐标分别为（a，0）、（0，a），a∈R⁺，当点P在线段AB上，且，（0≤t≤1），则的最大值是（ ）
A．a
B．2a²
C．a²
D．3a

7. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知向量与向量的夹角为120，若向量且，则的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）不恒为零，且满足f（x+3）=-f（3-x），f（x+4）=-f（4-x），则f（x）（ ）
A．是奇函数，也是周期函数
B．是偶函数，也是周期函数
C．是奇函数，但不是周期函数
D．是偶函数，但不是周期函数

10. 难度：中等

如图在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC，则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为    ．

12. 难度：中等

点M（a，b）在由不等式组确定的平面区域内，则点N（a+b，a-b）所在平面区域的面积是    ．

13. 难度：中等

三视图如下的几何体的体积为    ．

14. 难度：中等

由一个数列中部分项按原来次序排列的数列叫做这个数列的子数列，试在无穷等比数列，，，…中找出一个无穷等比的子数列，使它所有项的和为，则此子数列的通项公式为    ．

15. 难度：中等

设a，b，c，x，y，z是正数，且a²+b²+c²=10，x²+y²+z²=40，ax+by+cz=20，则=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数的最小正周期为4π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

17. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1．
（I）证明：面PAD⊥面PCD；
（II）求AC与PB所成角的余弦值．

18. 难度：中等

某中学在高三开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课．对于该年级的甲、乙、丙3名学生，回答下面的问题：
（1）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；
（2）某一选修课被这3名学生选修的人数的数学期望．

19. 难度：中等

设函数的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（-1）=0；②对一切实数x，不等式恒成立．
（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；
（Ⅱ）求证：（n∈N^*）．

20. 难度：中等

若椭圆C₁：的离心率等于，抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点在椭圆的顶点上．
（1）求抛物线C₂的方程；
（2）求过点M（-1，0）的直线l与抛物线C₂交E、F两点，又过E、F作抛物线C₂的切线l₁、l₂，当l₁⊥l₂时，求直线l的方程．

21. 难度：中等

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=10（x-1），数列{a_n}满足a₁=2，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，b_n=．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列；  
（2）当n取何值时，{b_n}取最大值，并求出最大值；
（3）若＜对任意m∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．