2012-2013学年广东省广州市越秀区铁一中学高一（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知A={0，1，2}，B={0，1}，则下列关系不正确的是（ ）
A．A∩B=B
B．∁_AB⊆B
C．A∪B⊆A
D．B⊊A

2. 难度：中等

函数的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

给定函数①，②，③y=|x-1|，④y=2^x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

5. 难度：中等

由表格中的数据可以判定方程e^x-x-2=0的一个零点所在的区间（k，k+1）（k∈N），则k的值为（ ）

x	-1		1	2	3
e^x	0.37	1	2.72	7.39	20.09
x+2	1	2	3	4	5

A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

下列幂函数中，定义域为R且为偶函数的个数为（ ）
（1）y=x^-2  （2）y=x （3）y=    （4）y=．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

7. 难度：中等

已知a=log₂0.3，b=2^0.3，c=0.3^0.2，则a，b，c三者的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．b＞c＞a
D．c＞b＞a

8. 难度：中等

已知f（x）为偶函数，在[0，+∞）上为增函数，若f（log₂x）＞f（1），则x的取值范围为（ ）
A．（2，+∞）
B．（0，）∪（2，+∞）
C．（，2）
D．（0，1）∪（2，+∞）

9. 难度：中等

设函数，对于给定的正数K，定义函数若对于函数定义域内的任意 x，恒有f_K（x）=f（x），则（ ）
A．K的最大值为
B．K的最小值为
C．K的最大值为1
D．K的最小值为1

10. 难度：中等

已知定义在[-2，2]上的函数y=f（x）和y=g（x），其图象如图所示：给出下列四个命题：
①方程f[g（x）]=0有且仅有6个根    ②方程g[f（x）]=0有且仅有3个根
③方程f[f（x）]=0有且仅有5个根    ④方程g[g（x）]=0有且仅有4个根
其中正确命题的序号（ ）

A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④

二、填空题

11. 难度：中等

如果f（x）=那么f（f（1））=    ．

12. 难度：中等

27+lg4+2lg5=    ．

13. 难度：中等

已知实数a≥0，b≥0且a+b=1，则（a+1）²+（b+1）²的取值范围为   
A．[，5]B．[，+∞）    C．[0，]D．[0，5]．

14. 难度：中等

定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为f（x）的一个承托函数．现有如下命题：
①对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能无数个；
②g（x）=2x为函数f（x）=2^x的一个承托函数；
③定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知全集U=R，A={x|f（x）=}，B={x|log₂（x-a）＜1}．
（1）若a=1，求（C_∪A）∩B．
（2）若（C_∪A）∩B=∅，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|（x∈R）
（1）证明：函数f（x）是偶函数；
（2）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图象，并写出函数的值域；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+2，观察图象写出不等式f（x）＞x+2的解集．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，
（1）若f（x）有一个零点为-1，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

18. 难度：中等

如图：A、B两城相距100km，某天燃气公司计划在两地之间建一天燃气站D 给A、B两城供气．已知D地距A城x km，为保证城市安全，天燃气站距两城市的距离均不得少于10km．已知建设费用y （万元）与A、B两地的供气距离（km）的平方和成正比，当天燃气站D距A城的距离为40km时，建设费用为1300万元．（供气距离指天燃气站距到城市的距离）
（1）把建设费用y（万元）表示成供气距离x （km）的函数，并求定义域；
（2）天燃气供气站建在距A城多远，才能使建设供气费用最小．最小费用是多少？

19. 难度：中等

已知函数f（x）=2a•4^x-2^x-1
（1）当a=1时，求函数f（x）在x∈[-3，0]的值域；
（2）若关于x的方程f（x）=0有解，求a的取值范围．

20. 难度：中等

对于在[a，b]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意的x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在[a，b]上是非接近的．现在有两个函数f（x）=log_t（x-3t）与g（x）=log_t（）（t＞0且t≠1），现给定区间[t+2，t+3]．
（1）若t=，判断f（x）与g（x）是否在给定区间上接近；
（2）若f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上都有意义，求t的取值范围；
（3）讨论f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是否是接近的．

21. 难度：中等

设x∈N⁺时f（x）∈N⁺，对任何n∈N+有f（n+1）＞f（n）且f（f（n））=3n，
（1）求f（1）；
（2）求f（6）+f（7）；
（3）求f（2012）．