2012-2013学年辽宁省沈阳市东北育才双语学校高一（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ）
A．20π
B．25π
C．50π
D．200π

2. 难度：中等

已知角α终边上一点，则角α的最小正值为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

若一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的体积为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．2π

4. 难度：中等

比较sin150°，tan240°，cos（-120°）三个三角函数值的大小，正确的是（ ）
A．sin150°＞tan240°＞cos（-120°）
B．tan240°＞sin150°＞cos（-120°）
C．sin150°＞cos（-120°）＞tan240°
D．tan240°＞cos（-120°）＞sin150°

5. 难度：中等

记cos（-80°）=k，那么tan100°=（ ）
A．
B．-
C．
D．-

6. 难度：中等

如图，一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′A′=2，那么原三角形ABO的最长边的长度为（ ）

A．
B．
C．6
D．4

7. 难度：中等

已知a，b，c为直线，γ为平面，给出下列例题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
③若a∥γ，b∥γ，则a⊥b
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b
其中真命题的序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．①④
D．③④

8. 难度：中等

-个几何体的三视图及其尺寸如图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是（单位cm³）（ ）
A．
B．
C．
D．π

9. 难度：中等

半径为1的球面上有三点A、B、C，其中，A、C两点间的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

11. 难度：中等

为得到函数f（x）=的图象，可将y=3sinx的图象（ ）
A．先左移单位，再横向压缩到原
B．先左移单位，再横向伸长到原2倍
C．先左移单位，再横向压缩到原
D．先左移单位，再横向伸长到原2倍

12. 难度：中等

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AB=1，M、N分别在AD₁，BC上移动，并始终保持MN∥平面DCC₁D₁，设BN=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知tanα=3，则的值    ．

14. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为    ．

15. 难度：中等

已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比V_圆柱：V_球=    （用数值作答）．

16. 难度：中等

函数的图象为C，如下 结论中正确的是    （写出所有正确结论的序号）
①图象C关于直线对称
②图象C关于点对称
③函数f（x）在区间内是增函数
④由y=3sin2x的图象向右平移个单位可以得到图象C．

三、解答题

17. 难度：中等

已知．
（1）求tanα的值；
（2）求（sinα+cosα）²的值．

18. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，D为C₁B的中点，P为AB边上的动点．
（Ⅰ）当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若AP=3PB，求三棱锥B-CDP的体积．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+）（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个点为M（，-2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[0，]求函数f（x）的值域；
（3）求函数y=f（x）的图象左移个单位后得到的函数解析式．

20. 难度：中等

如图正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜）．
（1）求MN的长；
（2）当a为何值时，MN的长最小．

21. 难度：中等

如图1，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．

（Ⅰ）证明：AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求三棱锥D-ABC的体积；
（Ⅲ）在∠ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．

22. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=a，BC=b．
（1）设E、F分别为AB₁、BC₁的中点，求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：A₁C₁⊥AB；
（3）求点B₁到平面ABC₁的距离．