Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=a，BC=b．
（1）设E、F分别为AB₁、BC₁的中点，求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：A₁C₁⊥AB；
（3）求点B₁到平面ABC₁的距离．

Answer

（1）欲证EF∥平面ABC，关键在平面ABC内找一直线与EF平行，根据中位线可知EF∥A1C1而A1C1∥AC则EF∥AC；
（2）欲证A1C1⊥AB，可先证A1C1⊥平面A1ABB1，根据线面垂直的判定定理可知只需证AB1⊥A1C1，A1C1⊥AA1；
（3）过A1作A1G⊥AC1于点G，先证A1G⊥平面ABC1，从而得到A1G即为所求的距离，在三角形中求出该距离即可．
（1）证明：∵E、F分别为AB1、BC1的中点，
∴EF∥A1C1．∵A1C1∥AC，∴EF∥AC．
∴EF∥平面ABC．
（2）证明：∵AB=CC1，∴AB=BB1．又三棱柱为直三棱柱，∴四边形ABB1A1为正方形．连接A1B，则A1B⊥AB1．
又∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥平面A1BC1．
∴AB1⊥A1C1．
又A1C1⊥AA1，∴A1C1⊥平面A1ABB1．
∴A1C1⊥AB．
（3）【解析】
∵A1B1∥AB，∴A1B1∥平面ABC1．
∴A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离．
过A1作A1G⊥AC1于点G，
∵AB⊥平面ACC1A1，
∴AB⊥A1G．从而A1G⊥平面ABC1，故A1G即为所求的距离，即A1G=，
∴点B1到平面ABC1的距离．