2012-2013学年北京市重点中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={y|y=sinx}，集合B={t|t²-2t＜0}，则A∩B=（ ）
A．[-1，1]
B．（0，2）
C．∅
D．（0，1]

2. 难度：中等

下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．y=ln（1-x）-lnx与
D．y=x+1与

3. 难度：中等

函数的定义域是（ ）
A．（-∞，0）∪（2，+∞）
B．（0，1）∪（1，+∞）
C．（0，1）∪（1，2）
D．（1，2）

4. 难度：中等

“f′（a）=0”是“f（x）在x=a处取得极值”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件

5. 难度：中等

函数f（x）=ax²+bx+c，若x₁≠x₂时，f（x₁）=f（x₂），且f（2x₁）=f（2x₂），则f（2012x₁）-f（2012x₂）的取值（ ）
A．一定大于零
B．一定等于零
C．一定小于零
D．不能确定正负

6. 难度：中等

已知函数，g（x）=x+b，若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的零点，则实数b的取值为（ ）
A．-1或
B．1或
C．1或
D．-1或

7. 难度：中等

已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x-2）在[0，2]上是单调减函数，则（ ）
A．f（0）＜f（-1）＜f（2）
B．f（-1）＜f（0）＜f（2）
C．f（-1）＜f（2）＜f（0）
D．f（2）＜f（-1）＜f（0）

8. 难度：中等

定义：若{y|y=f（x），x∈A}=A，则f（x）称为A上的一阶回归函数；
若{y|y=f（f（x）），x∈A}=A，则f（x）称为A上的二阶回归函数；
若{y|y=f（f（f（x））），x∈A}=A，则f（x）称为A上的三阶回归函数．
下列判断正确的个数是（ ）
①f（x）=3-x是[1，2]上的一阶回归函数；
②是[-1，0]上的一阶回归函数
③是（0，+∞）上的二阶回归函数；
④是（2，+∞）上的三阶回归函数．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

9. 难度：中等

命题p：∀x∈R，x²-2x＞0的否定形式是    ．

10. 难度：中等

函数f（x）=x²-f′（2）x，则f′（1）=    ．

11. 难度：中等

不等式log₂（2x-1）＜4的解集是    ．

12. 难度：中等

已知α∈（0，π），，则cosα=    ．

13. 难度：中等

函数f（x）是偶函数，且当x＞0时，，则=    ．

14. 难度：中等

下列函数一定可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的是   
①f（x）=2^x ②   ③   ④
（将所有正确选项的符号写在横线上）

三、解答题

15. 难度：中等

设集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+2（a+1）x+（a²-5）=0}．
（1）若A∩B={2}，求实数a的值；
（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

已知，．
（1）求cosα的值；
（2）求的值．

17. 难度：中等

已知f（x）=（x+1）•|x-1|，若关于x的方程f（x）=x+m有三个不同的实数解，求实数m的取值范围？

18. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=a（a＞2），对一切n∈N^*，a_n＞0，．
（1）求证：a_n＞2；
（2）求证：a_n+1＜a_n．

19. 难度：中等

已知函数，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=1，且x≥2时，证明：f（x-1）≤2x-5．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（1+）e^x，其中a＞0．
（Ⅰ）求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）讨论y=f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）在区间（-∞，-]上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．