Question

定义：若{y|y=f（x），x∈A}=A，则f（x）称为A上的一阶回归函数；
若{y|y=f（f（x）），x∈A}=A，则f（x）称为A上的二阶回归函数；
若{y|y=f（f（f（x））），x∈A}=A，则f（x）称为A上的三阶回归函数．
下列判断正确的个数是（ ）
①f（x）=3-x是[1，2]上的一阶回归函数；
②是[-1，0]上的一阶回归函数
③是（0，+∞）上的二阶回归函数；
④是（2，+∞）上的三阶回归函数．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

根据一阶回归函数的概念，分别判断f（x）=3-x在[1，2]上和在[-1，0]上，是否满足定义可判断①②的真假；根据二阶回归函数的概念，判断在（0，+∞）上是否满足定义可判断③的真假；根据三阶回归函数的概念，判断在（2，+∞）上是否满足定义可判断④的真假；
【解析】
∵f（x）=3-x在[1，2]上单调递减，∴当x=1时，f（x）取最大值2，当x=2时，f（x）取最小值1，
即{y|y=f（x）=3-x，x∈[1，2]}=[1，2]，故①中函数是一阶回归函数，故①正确；
∵在[-1，0]上单调递增，∴当x=-1时，f（x）取最小值-1，当x=0时，f（x）取最大值0，
即{y|y=，x∈[-1，0]}=[-1，0]，故②中函数是一阶回归函数，故②正确；
∵，∴x∈（0，+∞）时，y=f（f（x））==x∈（0，+∞），即③中函数是二阶回归函数，故③正确；
∵，∴x∈（2，+∞）时，y=f（f（f（x）））=======x∈（2，+∞），即④中函数是三阶回归函数，故④正确；
故选D