2012-2013学年山东省青岛二中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知U={y|y=log₂x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则C_uP=（ ）
A．[，+∞）
B．（0，）
C．（0，+∞）
D．（-∞，0）∪（，+∞）

2. 难度：中等

已知log₇[log₃（log₂x）]=0，那么等于（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知角α的终边经过点P（x，4），且，则tanα=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知，为互相垂直的单位向量，向量=+2，=+，且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，△ABC为等腰三角形，∠A=∠B=30°，设，，AC边上的高为BD．若用表示，则表达式为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

曲线C：y=e^x在点A处的切线l恰好经过坐标原点，则曲线C、直线l、y轴围成的图形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

下列命题中，真命题的个数为（ ）
（1）在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
（2）已知，则在上的投影为-2；
（3）函数的y=lg（x²+ax+1）的值域为R，则实数-2＜a＜2；
（4）已知函数（ω＞0）的导函数的最大值为3，则函数f（x）的图象关于对称．
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|，则（ ）
A．f（sin）＜f（cos）
B．f（sin1）＞f（cos1）
C．f（cos）＜f（sin）
D．f（cos2）＞f（sin2）

11. 难度：中等

已知函数f_M（x）的定义域为实数集R，满足（M是R的非空真子集），在R上有两个非空真子集A，B，且A∩B=∅，则的值域为（ ）
A．
B．{1}
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数，则函数f（x）在其定义域内的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量，，，若，则=    ．

14. 难度：中等

已知函数，则f（x）的单调减区间是    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，则c=    ．

16. 难度：中等

已知函数，若的图象有三个不同交点，则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点A（-1，-2）、B（2，3）、C（-2，-1）．
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）设实数t满足（）•=0，求t的值．

18. 难度：中等

设命题p：函数的定义域为R，命题q：不等式，对一切正实数x恒成立，如果“p或q”为真，“p且q”为假；求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若，求f（x）的值域；
（Ⅲ）若，将函数y=f（x）图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的值．

20. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+3同时满足以下条件：
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数； ②f′（x）是偶函数；③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=4lnx-m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设∠BDC=α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S．
（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？

22. 难度：中等

已知函数，（其中常数m＞0）
（1）当m=2时，求f（x）的极大值；
（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；
（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x₁，f（x₁））、Q（x₂，f（x₂）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x₁+x₂的取值范围．