2012-2013学年湖南师大附中高一（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={2，5，8}，则（C_∪M）∩N=（ ）
A．{5}
B．{2，8}
C．{1，3，7}
D．{4，6}

2. 难度：中等

若f（x）=3ax+1-2a在（-1，1）上存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．a＜-1

3. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞） 上单调递减的函数是（ ）
A．y=x^-2
B．y=x^-1
C．y=x²
D．

4. 难度：中等

下列函数中，值域为（0，+∞）的函数是（ ）
A．y=2^x
B．
C．y=x²+2x+2
D．y=|lgx|

5. 难度：中等

设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a

6. 难度：中等

函数的定义域是（ ）
A．[0，2）
B．[0.1）∪（1，2）
C．（1，2）
D．[0，1）

7. 难度：中等

已知函数f（x）=|log₃x|，若a≠b时，有f（a）=f（b），则（ ）
A．a＜b＜1
B．a＞b＞1
C．ab=3
D．ab=1

二、填空题

8. 难度：中等

计算 =    ．

9. 难度：中等

若幂函数y=f（x）的图象经过点（27，3），则f（8）的值是    ．

10. 难度：中等

函数f（x）=x²-2ax+1在区间[-1，2]上的最小值是f（2），则a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

用二分法求方程lnx-2+x=0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点，则下一个含根的区间是    ．

12. 难度：中等

给出下列四个命题：
①函数f（x）=1，x∈R是偶函数；
②函数f（x）=x与是相同的函数；
③函数y=3x（x∈N）的图象是一条直线； 
④已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x₁，x₂，当x₁≠x₂时，都有，则f（x）在R上是减函数．
其中正确命题的序号是    ．（写出你认为正确的所有命题序号）

13. 难度：中等

设函数，则f（x）是    函数（填奇、偶、非奇非偶），若f（a）＞f（-a），则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

14. 难度：中等

解关于x的不等式：a^6-x＞a^2+3x（a＞0，且a≠1）．

15. 难度：中等

已知函数是R上的奇函数，
（1）求m的值；
（2）先判断f（x）的单调性，再证明之．

16. 难度：中等

已知函数，设其值域是M，
（1）求函数f（x）的值域M；
（2）若函数g（x）=4^x-2^1+x-m在M内有零点，求m的取值范围．

四、选择题

17. 难度：中等

已知函数在区间[-a，a]（a＞0）上的最大值与最小值分别是M，m，则m+M的值为．（ ）
A．0
B．1
C．2
D．因a的变化而变化

五、填空题

18. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b是常数，且a≠0）有零点2，且方程f（x）=x有两个相等的实数根．则f（x）的解析式是    ．

六、解答题

19. 难度：中等

已知函数．
（1）请在直角坐标系中画出函数f（x）的图象，并写出该函数的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-m恰有3个不同零点，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）=80-2t（件），价格近似满足于（元）．
（Ⅰ）试写出该种商品的日销售量y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；
（Ⅱ）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．

21. 难度：中等

一般地，如果函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，那么对定义域内的任意x，则f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函数的定义域为R，其图象关于点对称．
（1）求常数m的值；
（2）解方程：；
（3）求证：（n∈N⁺）．