2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）12月统考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i为虚数单位，则=（ ）
A．-i
B．-1
C．i
D．1

2. 难度：中等

已知集合A={x||x-a|≤1}，B={x|x²-5x+4≥0}，若A∩B=ϕ，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，3]
B．（2，3）
C．[2，+∞）
D．（-∞，3]

3. 难度：中等

如图，非零向量=a，=b，且，C为垂足，设向量，则λ的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前三项依次为a-1，a+1，a+4，则a_n=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设l、m、n表示三条直线，α、β、r表示三个平面，则下面命题中不成立的是（ ）
A．若l⊥α，m⊥α，则l∥m
B．若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n
C．若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥α
D．若α⊥r，β⊥r，则α∥β

6. 难度：中等

x是实数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．x²+4＞4
B．
C．lg（x²+1）＞lg（2x）
D．x²+1＞

7. 难度：中等

如图，AB是半圆O的直径，C、D是弧AB的三等分点，M、N是线段AB的三等分点，若OA=6，则的值是（ ）

A．2
B．5
C．26
D．29

8. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（ ）

A．n＞10
B．n≤10
C．n＜9
D．n≤9

9. 难度：中等

两等差数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为Sn、Tn，，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列三个条件：
①对任意的x∈R都有f（x）=f（x+4）；
②对于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂），
③y=f（x+2）的图象关于y轴对称，
则下列结论中，正确的是（ ）
A．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）
B．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）
C．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）
D．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）

二、填空题

11. 难度：中等

某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有    种．（用数字作答）．

12. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是    ．

13. 难度：中等

函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（11）的值等于=    ．

14. 难度：中等

设非空集合s={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有y=x²∈s．给出如下三个命题：
①若m=1，则S={1}；
②若m=-，则≤l≤1；
③若m=，则-≤l≤0．
④若l=1，则-1≤m≤0或m=1．其中正确命题的是    ．

15. 难度：中等

请考生在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
（1）极坐标系中，曲线ρ=10cosθ和直线3ρcosθ-4ρsinθ-30=0交于A、B两点，则线段AB的长=    ．
（2）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|，则f（x）的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足acosC=（2b-c）cosA
（1）求角A；
（2）若a=3，求△ABC面积S的最大值．

17. 难度：中等

为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．甲一次种植了4株沙柳，根据以往的经验，这个人种植沙柳时每种植3株就有2株成活，且各株沙柳成活与否是相互独立的．
（Ⅰ）写出成活沙柳的株数的分布列，并求其期望值；
（Ⅱ）为了有效地防止风沙危害，该地至少需要种植24000株成活沙柳．如果参加种植沙柳的人每人种植4株沙柳，问至少需要具有甲的种植水平的多少人来参加种植沙柳，才能保证有效防止风沙危害．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}是公差为2的等差数列，且a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：．

19. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（I）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数，，其中e=2.71828…．
（1）若f（x）在其定义域内是单调函数，求实数p的取值范围；
（2）若p∈（1，+∞），问是否存在x＞0，使f（x）≤g（x）成立？若存在，求出符合条件的一个x；否则，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数y=f（x），x∈N^*，y∈N^*，满足：①对任意a，b∈N^*，a≠b，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；②对任意n∈N^*都有f[f（n）]=3n．
（I）试证明：f（x）为N^*上的单调增函数；
（II）求f（1）+f（6）+f（28）；
（III）令a_n=f（3ⁿ），n∈N^*，试证明：.．