2012-2013学年浙江省宁波市海曙区效实中学高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x∈R|＞0}，B={x∈R|x²-x-2＜0}则A∩B=（ ）
A．（-1，2）
B．（-1，+∞）
C．（-1，1）
D．（1，2）

2. 难度：中等

已知sin（π-α）=-2sin（+α），则sin2α等于（ ）
A．-
B．-
C．
D．

3. 难度：中等

若向量，满足||=1，||=，且⊥，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₄成等比数列，S_n是数列{a_n}的前n项和，则的值为（ ）
A．3
B．
C．
D．1

5. 难度：中等

函数f（x）=x²-2x-4lnx的单调递增区间是（ ）
A．（-∞，-1），（0，2）
B．（-1，0），（2，+∞）
C．（0，2）
D．（2，+∞）

6. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（π-2x），g（x）=2cos²x，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）在区间[]上为增函数
B．函数y=f（x）+g（x）的最小正周期为2π
C．函数y=f（x）+g（x）的图象关于直线x=对称
D．将函数f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象

7. 难度：中等

已知a＞b≥2，有下列不等式：①b²＞3b-a；②；③ab＞a+b；④log_a3＞log_b3；其中正确的是（ ）
A．②④
B．①②
C．③④
D．①③

8. 难度：中等

O是△ABC所在平面内一点，动点P满足（λ∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．内心
B．重心
C．外心
D．垂心

9. 难度：中等

若关于x的不等式x²+|x-a|＜2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-，2）
B．（-，）
C．（-2，）
D．（-2，2）

10. 难度：中等

如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是（ ）

A．1
B．
C．2
D．

二、填空题

11. 难度：中等

复数z满足（z-2）（1+i）=1-i，其中i是虚数单位，则复数z=    ．

12. 难度：中等

在（x²+x+1）（x-1）⁵的展开式中，含x⁵项的系数是    ．

13. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图，则 f（π）=    ．

14. 难度：中等

若函数f（x）=在其定义域R上有且只有一个零点，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，AD为BC边上的高．已知cosC=，且=+，则 =    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若acosB-bcosA=c，则tan（A-B）的最大值为    ．

17. 难度：中等

设正整数数列{a_n}满足：a₂=4，且对于任何n∈N^*，有2+＜＜2+，则a₁₀=    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数f（x）=3+sinwx-（w＞0）在一个周期内的图象如图所示，点A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且三角形ABC的面积为．
（ I）求ω的值及函数f（x）的值域；
（ II）若f（x）=，x∈（，），求f（x+）的值．

19. 难度：中等

用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成四位数．
（ I）可以组成多少没有重复数字的四位数？
（ II）可组成多少个恰有两个相同数字的四位数？

20. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量=（2a+c，b），=（cosB，cosC），且，垂直．
（ I）确定角B的大小；
（ II）若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD=1，设BC=x，BA=y，试确定y关于x的函数式，并求边AC长的取值范围．

21. 难度：中等

已知以a₁为首项的数列{a_n}满足：a_n+1=
（1）当a₁=1，c=1，d=3时，求数列{a_n}的通项公式
（2）当0＜a₁＜1，c=1，d=3时，试用a₁表示数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀
（3）当0＜a₁＜（m是正整数），c=，d≥3m时，求证：数列a₂-，a_3m+2-，a_6m+2-，a_9m+2-成等比数列当且仅当d=3m．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²-1，x∈R，a∈R．
（Ⅰ） 设对任意x∈（-∞，0]，f（x）≤x恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ） 是否存在实数a，使得满足f^′（t）=4t²-2alnt的实数t有且仅有一个？若存在，求出所有这样的a；若不存在，请说明理由．