2011-2012学年云南省昆明一中高三（上）第三次摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x≥0}，B={y||y|≤2，y∈Z}，则下列结论正确的是（ ）
A．A∩B=ϕ
B．（C_RA）∪B=（-∞，0）
C．A∪B=[0，+∞]
D．（C_RA）∩B={-2，-1}

2. 难度：中等

的值是（ ）
A．0
B．
C．i
D．2i

3. 难度：中等

已知双曲线的渐近线为x±y=0，则双曲线的焦距为（ ）
A．
B．2
C．2
D．4

4. 难度：中等

已知事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，事件A、B同时发生的概率为．若事件B已经发生，则此时事件A也发生的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

有四个关于三角函数的命题：
P₁：∃x∈R，sinx+cosx=2；                        P₂：∃x∈R，sin2x=sinx；
；    P₄：∀x∈（0，π）sinx＞cosx．
其中真命题是（ ）
A．P₁，P₄
B．P₂，P₃
C．P₃，P₄
D．P₂，P₄

6. 难度：中等

已知tan2，tan（α-β）=，则tan（α+β）（ ）
A．-2
B．-1
C．-
D．-

7. 难度：中等

设x，y满足的最小值为（ ）
A．-5
B．-4
C．4
D．0

8. 难度：中等

△ABC中，点E为AB边的中点，点F为AC边的中点，BF交CE于点G，若，则x+y等于（ ）
A．
B．
C．1
D．

9. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段AC₁上有两个动点E，F，且EF=．给出下列四个结论：
①CE⊥BD；
②三棱锥E-BCF的体积为定值；
③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；
④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA₁平行的直线
其中，正确结论的个数是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

如果执行如图的程序框图，则输出的结构是（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

一个几何的三视图如图所示，它们都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积等于（ ）

A．
B．
C．π
D．2π

12. 难度：中等

用[a]表示不大于实数a的最大整数，如[1.68]=1，设x₁，x₂分别是方程x+2^x=3及x+log₂（x-1）=3的根，则[x₁+x₂]=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

二、填空题

13. 难度：中等

函数f（x）=sin（ωx+φ），（x∈R，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图，则ω+φ=    ．

14. 难度：中等

已知过点P（1，0）且倾斜角为60°的直线l与抛物线y²=4x交于A，B两点，则弦长|AB|=    ．

15. 难度：中等

为估计一圆柱形烧杯A底面积的大小，做以下实验：在一个底面边长为a的正四棱柱容器B中装有一定量的白色小球子，现用烧杯A盛满黑色小珠子（珠子与杯口平齐），将其倒入容器B中，并充分混合，此时容器B中小珠子的深度刚好为a（两种颜色的小珠子大小形状完全相同，且白色的多于黑色的）现从容器B中随机取出100个小珠子，清点得黑色小珠子有25个．若烧杯A的高度为h，于是可估计此烧杯的底面积S约等于    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，已知a²-c²=b，且sinAcosC=3cosAsinC，则b=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且3S_n=a_n+4．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}满足b_n=3S_n求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

某高校从参加今年自主招生考试的学生中抽取成绩排名在前80名的学生成绩进行统计，得频率分布表：

组号	分组	频数	频率
1	[200，210）	8	0.1
2	[210，220）	9	0.1125
3	[220，230）	①
4	[230，240）	10	②
5	[240，250）	15	0.11875
6	[250，260）	12	0.15
7	[260，270）	8	0.10
8	[270，280）	4	0.05

（I）分别写出表中①、②处的数据；
（II）高校决定在第6、7、8组中用分层抽样的方法选8名学生进行心理测试，并最终确定两名学生给予奖励．规则如下：假定每位学生通过心理测试获得奖励的可能性相同．若该名获奖学生来自第6组，则给予奖励1千元；若该名获奖学生来自第7组，则给予奖励2千元；若该名获奖学生来自第8组，则给予奖励3千元；记此次心理测试高校将要支付的奖金总额为X（千元），求X的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．
（I）证明：EB∥平面PAD；
（II）若PA=AD=DC，求二面角E-BD-C的余弦值；
（III）在（II）的条件下，侧棱PB上是否存在一点M，使得AM∥平面BDE．若存在，求PM：MB的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知椭圆的左焦点为，点F到右顶点的距离为
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l与椭圆交于A、B两点，且与圆相切，求△AOB的面积为时求直线l的斜率．

21. 难度：中等

已知函数x²+ax+2blnx
（1）若b=1时，函数f（x）在（0，1）上不单调，求实数a的取值范围；
（2）若函数在（0，m）和（n，+∞）上为增函数，在（m，n）上为减函数（其中0＜m＜1，1＜n＜2）．求b-a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，在△AGF中，∠AGF是直角，B是线段AG上一点，以AB为直径的半圆交AF于D，连接DG交半圆于点C，延长AC交FG于E．
（I）求证D、C、E、F四点共圆；
（II）若的值．

23. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，已知圆M的方程为x²+y²-4xcosα-2ysinα+3cos²α=0（α为参数），直线l的参数方程为为参数）
（I）求圆M的圆心的轨迹C的参数方程，并说明它表示什么曲线；
（II）求直线l被轨迹C截得的最大弦长．

24. 难度：中等

已知函数f（t）=|t+1|-|t-3|．
（I）求f（t）＞2的解集；
（II）设a＞0，g（x）=ax²-2x-5．若对任意实数x，t，均有g（x）≥f（t）恒成立，求a的取值范围．