Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．
（I）证明：EB∥平面PAD；
（II）若PA=AD=DC，求二面角E-BD-C的余弦值；
（III）在（II）的条件下，侧棱PB上是否存在一点M，使得AM∥平面BDE．若存在，求PM：MB的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）取CD中点F，连接EF、BF，证明EF∥平面PAD，BF∥平面PAD，可得平面EBF∥平面PAD，从而可得EB∥平面PAD；
（II）建立坐标系，求得平面BDC的法向量，平面BDE的法向量=（-2，-1，1），利用向量的夹角公式，可得结论；
（III）假设侧棱PB上存在一点M，使得AM∥平面BDE，令PM=λMB，利用面BDE的法向量为=（-2，-1，1），•=0，建立方程，求得λ的值，即可得到结论．
（I）证明：取CD中点F，连接EF、BF，
∵E为PC的中点，∴EF∥PD
∵EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD
∴EF∥平面PAD
∵BF∥AD，BF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD
∴BF∥平面PAD
∵EF∩BF=F
∴平面EBF∥平面PAD
∵EB⊂平面EBF
∴EB∥平面PAD；
（II）【解析】
建立如图所示的坐标系，

不妨设OB=1，则PA=AD=DC=2
∴B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），
∴
取平面BDC的法向量，设平面BDE的法向量为=（x，y，1），则
∴x=-2，∴=（-2，-1，1）
∴cos==；
（III）【解析】
假设侧棱PB上存在一点M，使得AM∥平面BDE，令PM=λMB，则M（）
∴=（）
∵面BDE的法向量为=（-2，-1，1）
∴•=0
∴=0
∴λ=1
∴PM：MB=1时，AM∥平面BDE