2012-2013学年江苏省盐城市东台中学高三（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题“∀x∈R，sinx≤1”是    命题（选填“真”，“假”）

2. 难度：中等

已知复数，则复数z在复平面内对应的点位于第    象限．

3. 难度：中等

集合A={1，log₂x}中的实数x的取值范围为    ．

4. 难度：中等

在△ABC中，，，，则B=    ．

5. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，已知a₁=1，a_k=243，q=3，则数列{a_n}的前k项的和S_k=    ．

6. 难度：中等

函数f（x）=sinx+cosx的图象向左平移m（m＞0）个单位后，与y=cosx-sinx的图象重合，则实数m的最小值为    ．

7. 难度：中等

设实数x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为    ．

8. 难度：中等

已知，则cos（30°-2α）的值为    ．

9. 难度：中等

已知向量=（x-1，2），=（4，y），若⊥，则9^x+3^y的最小值为    ．

10. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的各项均为不等于1的正数，数列{b_n}满b_n=lga_n，b₃=18，b₆=12，则数列{b_n}前n项和的最大值为    ．

11. 难度：中等

已知奇函数f（x）=ax³+bx²+cx+d在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+1，则这个函数的单调递增区间是    ．

12. 难度：中等

设p：f（x）=x³+2x²+mx+1在（-∞，+∞）内单调递增；q：已知h（x）=x²，，若对任意x₁∈[-1，3]，总存在x₂∈[0，2]，使得h（x₁）≥g（x₂）成立，则p是q成立的    条件．

13. 难度：中等

设数列{a_n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f_n（x）=b总有两个不同的根，则{a_n}的通项公式为    ．

14. 难度：中等

定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1-λ）b∈[a，b]，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+2x+c，且f（x）＞0的解集为．
（1）求f（2）的取值范围；
（2）在f（2）取得最小值时，若对于任意的x∈[2+∞），f（x）+2≥mf'（x）恒成立，求实数m的取值范围．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点在直线上，数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N*），且b₃=11，前9项和为153．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列前n项的和．

18. 难度：中等

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．
（1）将y表示成x的函数；
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

已知函数（其中e是自然对数的底数）
（1）若f（x）是奇函数，求实数a的值；
（2）若函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，试求实数a的取值范围；
（3）设函数，求证：对于任意的t＞-2，总存在x∈（-2，t），满足，并确定这样的x的个数．

20. 难度：中等

设数列{a_n}是由正数组成的等比数列，公比为q，S_n是其前n项和．
（1）证明；
（2）设，记数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较q²S_n和T_n的大小．