Question

设数列{a_n}是由正数组成的等比数列，公比为q，S_n是其前n项和．
（1）证明；
（2）设，记数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较q²S_n和T_n的大小．

Answer

（1）由题设知当q=1时，Sn•Sn+2-Sn+12=na1•（n+2）a1-（n+1）2a12=-a12＜0；当q≠1时，Sn•Sn+2-Sn+12==-a12qn＜0．由此可知Sn•Sn+2-Sn+12＜0．所以．
（2）方法一：由题意知Tn=，Tn-q2Sn=≥2，所以Tn＞q2S．
方法二：由题意知Tn=，再由，利用均值不等式可知Tn＞q2S．
证明：（1）由题设知a1＞0，q＞0．（1分）
（i）当q=1时，Sn=na1，
于是Sn•Sn+2-Sn+12=na1•（n+2）a1-（n+1）2a12=-a12＜0，（3分）
（ii）当q≠1时，，
于是Sn•Sn+2-Sn+12==-a12qn＜0．（7分）
由（i）和（ii），得Sn•Sn+2-Sn+12＜0．
所以Sn•Sn+2＜Sn+12，．（8分）
（2）方法一：，（11分）
Tn=，
Tn-q2Sn=，（13分）
=≥2＞0，（15分）
所以Tn＞q2S．（16分）
方法二：Tn=，（11分）
由，（13分）
因为q＞0，所以
（当且仅当，即时取“=”号），
因为，
所以，即Tn＞q2S．（16分）