Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点在直线上，数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N*），且b₃=11，前9项和为153．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列前n项的和．

Answer

（1）利用点在直线上，求得Sn，再写一式，两式相减，可得数列{an}的通项公式；确定数列{bn}是等差数列，利用b3=11，前9项和为153，即可求数列{bn}的通项公式；
（2）利用错位相减法，可求数列前n项的和．
【解析】
（1）由题意可知，∴
n≥2时，an=Sn-Sn-1=n+5
n=1时，a1=S1=6也适合
∴an=n+5；
∵bn+2-2bn+1+bn=0，∴bn+2-bn+1=bn+1-bn，
∴{bn}是等差数列
∵前9项和为153
∴=9b5=153，∴b5=17
∵b3=11，∴公差d==3
∴bn=3n+2；
（2）设数列前n项的和Tn，则
Tn=26×5+27×8+…+2n+5•（3n+2）①
∴2Tn=27×5+28×8+…+2n+6•（3n+2）②
①-②：-Tn=26×5+3×（27+28+…+2n+5）-2n+6•（3n+2）=-26-（3n-1）•2n+6
∴