2012-2013学年湖南省邵阳市洞口一中高二（上）8月月考数学试卷2（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题“若x=1，则x²-3x+2=0”以及它的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数是（ ）
A．0
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．（￢p）∨q
B．p∧q
C．（￢p）∧（￢q）
D．（￢p）∨（￢q）

3. 难度：中等

在△ABC中，若，，，则此三角形中最大内角是（ ）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°

4. 难度：中等

若b为实数，且a+b=2，则3^a+3^b的最小值为（ ）
A．18
B．6
C．2
D．2

5. 难度：中等

设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（ ）
A．5
B．3
C．7
D．-8

6. 难度：中等

在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为（ ）
A．83
B．108
C．75
D．63

8. 难度：中等

已知S_k表示数列{a_n}的前k项和，且S_k+1+S_k=a_k+1（k∈N），那么此数列是（ ）
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列

9. 难度：中等

设0＜x＜，则“x sin²x＜1”是“x sinx＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

二、填空题

10. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F₁F₂在x轴上，离心率为．过F_l的直线交于A，B两点，且△ABF₂的周长为16，那么C的方程为    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=    ．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n+1，那么它的通项公式为a_n=    ．

13. 难度：中等

设椭圆=1（m＞0，n＞0）的右焦点为F（2，0），离心率为，则此椭圆的方程为    ．

14. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₁+a₂=9，a₁a₂a₃=27，则{a_n}的前n项和S_n=    ．

15. 难度：中等

不等式组所表示的平面区域的面积等于     ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线的离心率e∈（1，2），若p、q有且只有一个为真，求m的取值范围．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．

18. 难度：中等

设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，S_n是和a_n的等差中项．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明．

19. 难度：中等

某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a_n的信息如图．
（1）求a_n；
（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；
（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？

20. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+t（t＞0）与椭圆C交于A，B两点．若原点O在以线段AB为直径的圆内，求实数t的取值范围．

21. 难度：中等

若S_n是公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求等比数列S₁，S₂，S₄的公比； 
（2）若S₂=4，求{a_n}的通项公式；
（3）设，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

22. 难度：中等

（备用题）如图，已知椭圆到它的两焦点F₁、F₂的距离之和为4，A、B分别是它的左顶点和上顶点．
（I）求此椭圆的方程及离心率；
（II）平行于AB的直线l与椭圆相交于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时直线l的方程．