2012-2013学年湖南师大附中高三第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线ax+by+c=0的斜率k=-，斜角为a，则sina=（ ）
A．-
B．
C．
D．-

2. 难度：中等

当a=3时，下面的程序段输出的结果是（ ）    
IF a＜10  THEN
y=2+a
ELSE
y=a*a
PRLNT   y．
A．9
B．3
C．5
D．6

3. 难度：中等

某几何体的正视图和侧视图均为如图所示，则该几何体的俯视图可能是（ ）

A．（1），（3）
B．（1），（3），（4）
C．（1），（2），（3）
D．（1），（2），（3），（4）

4. 难度：中等

设函数，且函数f（x）为偶函数，则g（-2）=（ ）
A．6
B．-6
C．2
D．-2

5. 难度：中等

设集合A=（-∞，a]，B=（b，+∞），a∈N，b∈N，且A∩B∩N={2}，则a+b的值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

6. 难度：中等

函数，g（x）=3^x-1，则不等式f[g（x）]≥0的解集为（ ）
A．[1，+∞）
B．[ln3，+∞）
C．[1，ln3]
D．[log₃2，+∞）

7. 难度：中等

点，则x²+y²的取值范围是（ ）
A．[4，+∞）
B．[16，+∞）
C．
D．

8. 难度：中等

如图，有一条长为a的斜坡AB，它的坡角∠ABC=45°，现保持坡高AC不变，将坡角改为∠ADC=30°，则斜坡AD的长为（ ）

A．a
B．
C．2a

9. 难度：中等

德国数学家洛萨•科拉茨1937年提出了一个猜想：任给一个正整数n，如果它是偶数，就将它减半；如果它是奇数，则将它乘3再加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．现在请你研究：如果对正整数n（首项），按照上述规则实施变换（1可以多次出现）后的第八项为1，则n的所有可能的对值为（ ）
A．2，3，16，20，21，128
B．2，3，16，21
C．2，16，21，128
D．3，16，20，21，64

二、填空题

10. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b-c）（a+b+c）=ab，则角C=    ．

11. 难度：中等

已知y=f（x）+x²是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（-1）=    ．

12. 难度：中等

曲线y=x³-x+3在点（1，3）处的切线方程为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+ax+b-3，f（x）的图象恒过点（2，0），则a²+b²的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知向量夹角为45°，且，则=    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域[-1，5]，部分对应值如表

x	-1		4	5
f（x）	1	2	2	1

f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示
下列关于函数f（x）的命题；
①函数f（x）的值域为[1，2]；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．
其中真命题为    （填写序号）

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求f（x）在[-，]上的值域．

17. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各侧棱都垂直于底面，AC=AA₁=4，AB=5，BC=3．
（1）证明：BC⊥AC₁；
（2）求直线AB与平面A₁BC所成角的正弦值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，Sn是其前n项的和，且a₃=5，S₃=9
（1）求首项a₁和公差d；
（2）若存在数列{b_n}，使a₁b₁+a₂b₂+L+a_nb_n=5+（2n-3）2ⁿ⁺¹对任意正整数n都成立，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

19. 难度：中等

某玩具生产厂家接到一生产伦敦奥运吉祥物的生产订单，据以往数据分析，若生产数量为x万件，则可获利-lnx+万美元，受美联货币政策影响，美元贬值，获利将因美元贬值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数，且m∈（0，1）．
（1）若美元贬值指数m=，为使得企业生产获利随x的增加而增长，该企业生产数量应在什么范围？
（2）若因运输等其他方面的影响，使得企业生产x万件产品需增加生产成本万美元，已知该企业生产能力为x∈[4，10]，试问美元贬值指数m在什么范围内取值才能使得该企业生产每件产品获得的平均利润不低于0.3美元？

20. 难度：中等

已知直线l：y=x+m与椭圆相交于不同的两点A，B，点M（4，1）为定点．
（1）求m的取值范围；
（2）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．

21. 难度：中等

已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e^x-1-f（0）x+
（1）求f′（1），f（0）以及f（x）的单调区间；
（2）令h（x）=f（x）-x³--e^x，若对h（x）在x∈（1，3）单调递增，求a的取值范围．