Question

已知数列{a_n}是等差数列，Sn是其前n项的和，且a₃=5，S₃=9
（1）求首项a₁和公差d；
（2）若存在数列{b_n}，使a₁b₁+a₂b₂+L+a_nb_n=5+（2n-3）2ⁿ⁺¹对任意正整数n都成立，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer

（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式，进行求解；
（2）已知a1b1+a2b2+L+anbn=5+（2n-3）2n+1，可以把等式两边n换为n-1，然后两式相减，可以推出bn的通项公式，再求出数列{bn}的前n项的和Tn．
【解析】
（1）由题意可得，解得；
（2）由题意得，当n≥2时，有a1b1+a2b2+…+anbn=5+（2n-3）2n+1，①
又a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=5+（2n-5）2n，②
①-②得，anbn=5+（2n-3）2n+1-[5+（2n-5）2n]=（2n-1）2n，
∴当n≥2时，bn=2n，
又当n=1时，a1b1=5+（2×1-3）22=1，∴b1=1；
∴bn=；
当n≥2时，Tn=1+4+8+…+2n=1+=2n+1-3，
又当n=1时，T1=1，符合上式，
Tn=2n+1-3；