2012-2013学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁_UB）（ ）
A．∅
B．{5}
C．{3}
D．{3，5}

2. 难度：中等

曲线y=2x-x³在x=-1处的切线方程为（ ）
A．x+y+2=0
B．x+y-2=0
C．x-y+2=0
D．x-y-2=0

3. 难度：中等

已知平面向量，满足=1，=2，且（+）⊥，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知数列{a_n}是正项等比数列，若a₂=2，2a₃+a₄=16则数列{a_n}的通项公式为（ ）
A．2^n-2
B．2^2-n
C．2^n-1
D．2ⁿ

5. 难度：中等

已知角α的终边经过点（-3a，4a）（a＞0），则sin2α等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上，且满足，则的值为（ ）
A．-4
B．-2
C．2
D．4

7. 难度：中等

函数的图象与函数g（x）=ln（x+1）的图象的交点个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

已知数列{a_n}是各项均为正数且公比不等于1的等比数列．对于函数y=f（x），若数列{lnf（a_n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的如下函数：
①，
②f（x）=x²，
③f（x）=e^x，
④，
则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）
A．①②
B．③④
C．①②④
D．②③④

二、填空题

9. 难度：中等

已知，且α为第二象限的角，则sinα=    ，tanα=    ．

10. 难度：中等

设集合A={x∈R|x≤2}，B={x∈R|，则A∩B=    ．

11. 难度：中等

设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若a₃+a₄=4，a₆+a₇=16，则公差d=    ，S₉=    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，若，△ABC的面积为2，则角B=    ．

13. 难度：中等

已知函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且则f（2）=    （用a表示），若，则a=    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在定义域上单调递增．当x∈[1-a，+∞）时，不等式f（x-2a）+f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）求sin（C-A）的值．

16. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，a_n+1=3S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）写出a₂，a₃的值，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

17. 难度：中等

函数部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-cos2x，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=2ax²+4x-3-a，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[-1，1]上的最大值；
（Ⅱ）如果函数f（x）在区间[-1，1]上存在零点，求a的取值范围．

19. 难度：中等

设函数f（x）=x-ae^x，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤0成立，求a的取值范围．

20. 难度：中等

给定一个n项的实数列，任意选取一个实数c，变换T（c）将数列a₁，a₂，…，a_n变换为数列|a₁-c|，|a₂-c|，…，|a_n-c|，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c可以不相同，第k（k∈N^*）次变换记为T_k（c_k），其中c_k为第k次变换时选择的实数．如果通过k次变换后，数列中的各项均为0，则称T₁（c₁），T₂（c₂），…，T_k（c_k）为“k次归零变换”
（Ⅰ）对数列：1，2，4，8，分别写出经变换T₁（2），T₂（3），T₃（4）后得到的数列；
（Ⅱ）对数列：1，3，5，7，给出一个“k次归零变换”，其中k≤4；
（Ⅲ）证明：对任意n项数列，都存在“n次归零变换”．