2012-2013学年安徽省皖南八校高三（上）9月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=2+i的实数部为a，虚部为b，则a-b=（ ）
A．2
B．-1
C．1
D．3

2. 难度：中等

若f（x）是R上周期为7的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（-2）-f（8）=（ ）
A．-1
B．1
C．3
D．-3

3. 难度：中等

若程序框图输出的S是62，则条件①可为（ ）
A．n≤5
B．n≤6
C．n≤7
D．n≤8

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足a₁=-4，a₄+a₆=16，则它的前10项和S₁₀=（ ）
A．138
B．95
C．23
D．135

5. 难度：中等

已知直线m，l和平面α、β，则α⊥β的充分条件是（ ）
A．m⊥l，m∥α，l∥β
B．m⊥l，α∩β=m，l⊂α
C．m∥l，m⊥α，l⊥β
D．m∥l，l⊥β，m⊂α

6. 难度：中等

已知一组观测值具有线性相关关系，若对，求得b=0.5，=5.4，=6.2，则线性回归方程为（ ）
A．=0.5x+3.5
B．.=0.5x+8.9
C．.=3.5x+0.5
D．.=8.9x+3.5

7. 难度：中等

已知（x-）⁸展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是（ ）
A．2⁸
B．3⁸
C．1或3⁸
D．1或2⁸

8. 难度：中等

在△ABC中，=3，，则∠B的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

双曲线x²-y²=8的左右焦点分别为F₁，F₂，点P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3…）在其右支上，且满足|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，P₁F₂⊥F₁F₂，则x₂₀₁₂的值是（ ）
A．8040
B．80484
C．8048
D．8040

10. 难度：中等

将4个相同的小球放人编号为1，2，3的3个盒子中（可以有空盒），当某个盒子中球的个数等于该盒子的编号时称为一个和谐盒，则恰有两个和谐盒的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知随机变量ξ～N（0，1），已知P（ξ≤1.98）=0.9762，则P（-1.98＜ξ≤1.98）=    ．

12. 难度：中等

设O为坐标原点，点M（2，1），若点N（x，y）满足不等式组，则的取值范围是    ．

13. 难度：中等

用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正（主）视图、侧（左）视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积是    ．

14. 难度：中等

设0＜x＜1，a、b为正常数，则的最小值为    ．

15. 难度：中等

给出以下五个命题，其中所有正确命题的序号为   
①函数的最小值为l+2；
②已知函数f （x）=|x²-2|，若f （a）=f （b），且0＜a＜b，则动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为1；
③命题“函数f（x）=xsinx+1，当x₁，x₂∈，且|x₁|＞|x₂|时，有f （x₁）＞f（x₂）”是真命题；
④“”是函数“y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期为4”的充要条件；
⑤已知等差数列{a_n}的前n项和为Sn，为不共线向量，又，若，则S₂₀₁₂=2013．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量=（cosx，0），=（0，sinx）．记函数f（x）=（+）²十sin2x．
（I）求函数f（x）的最小值及取最小值时x的集合；
（II）求函数f （x）的单调递增区间．

17. 难度：中等

如图已知：BA，BC，BB₁两两垂直，BCC₁B₁为矩形，ABB₁N为直角梯形，BC=BA=AN=4，BB₁=8．
（I）证明：BN⊥平面C₁B₁N；
（ll）求二面角C-NB₁-C₁的余弦值，
（III ）M为AB的中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

一个口袋中装有大小相同的n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球的颜色不同则为中奖．
（I）试用n表示一次摸奖中奖的概率p；
（II）记从口袋中三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为m，用p表示恰有一次中奖的概率m，求m的最大值及m取最大值时p、n的值；
（III）当n=15时，将15个红球全部取出，全部作如下标记：记上i号的有i个（i=1，2，3，4），共余的红球记上0号．并将标号的15个红球放人另一袋中，现从15个红球的袋中任取一球，ξ表示所取球的标号，求ξ的分布列、期望和方差．

19. 难度：中等

已知函数
（I）求f′（1）；
（II）求f （x）的单调区间和极值，
（皿）设a≥1，函数g（x）=x²-3ax+2a²-5，若对于任意x∈（0，1），总存在x₁∈（0，2），使得f（x₁）=g（x）成立，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知椭圆C：=1（a＞b＞O），椭圆C焦距为：2c，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）．
（I）求椭圆c的方程；
（II）设点P（-，0），过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=，a_n=（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}的前n项和Sn，满足：．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n，b_n；
（II）设，①求数列{b_nc_n}前n项的和Tn，②求数列前n项的和A_n．