2012-2013学年湖南省重点中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x||x-a|＜1}，B={x|1＜x＜5，x∈R}，A∩B=∅，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|0≤a≤6}
B．{a|a≤2，或a≥4
C．{a|a≤0，或a≥6}
D．{a|2≤a≤4}

2. 难度：中等

已知=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

若x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是（ ）
A．-3
B．
C．2
D．3

4. 难度：中等

过点（5，2）且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（ ）
A．2x+y-12=0
B．2x+y-12=0或2x-5y=0
C．x-2y-1=0
D．x-2y-1=0或2x-5y=0

5. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若α⊥γ，β⊥γ则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若α∥β，β∥γ，m⊥α则m⊥γ．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

图1是根据随机抽取的120名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）的市民而得到的样本的频率分布直方图如图所示；图2是求所抽取的年龄在[30，40）范围内的市民的平均年龄的程序框图，则判断框中应填（ ）
A．i＞42
B．i≥42
C．i＜42
D．i≤42

7. 难度：中等

两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a＞b则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（ ）
A．4a
B．2（a-c）
C．2（a+c）
D．以上答案均有可能

9. 难度：中等

已知函数，若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，1]
B．（0，1）
C．[0，+∞）
D．（-∞，1）

二、填空题

10. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ，把曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程为    ．

11. 难度：中等

计算=    ．

12. 难度：中等

下列四个命题中
①∀x∈R，2x²-x+1＞0；
②“x＞1且y＞2”是“x+y＞3”的充要条件；
③函数的最小值为2
其中假命题的为     （将你认为是假命题的序号都填上）．

13. 难度：中等

记函数f（x）的反函数为f^-1（x），若f（x）=log_ax且f（9）=2，则f^-1（-log₉2）的值是    ．

14. 难度：中等

如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上的两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角的大小为    ．

15. 难度：中等

某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P_k（x_k，y_k）处，其中x₁=1，y₁=1，当k≥2时，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案第2012棵树种植点的坐标应为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=ωx+2sinωx•cosωx+ωx，其中ω＞0，且f（x）的最小正周期为π．
（Ⅰ） 求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ） 利用五点法作出f（x）在[-，]上的图象．

17. 难度：中等

有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4．
（1）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；
（2）摸球方法与（Ⅰ）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？

18. 难度：中等

如图，将长，宽AA₁=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示：
（1）求平面APQ与底面ABC所成二面角的正切值；
（2）求三棱锥A₁-APQ的体积．

19. 难度：中等

设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知T（t）=at³+bt²+ct+d（a≠0），其中温度的单位是℃，时间的单位是小时，中午12：00相应的t=0，中午12：00以后相应的t取正数，中午12：00以前相应的t取负数（如早上8：00相应的t=-4，下午16：00相应的t=4），若测得该物体在早上8：00的温度为8℃，中午12：00的温度为60℃，下午13：00的温度为58℃，且已知该物体的温度在早上8：00与下午16：00有相同的变化率．
（1）求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；
（2）该物体在上午10：00至下午14：00这段时间中（包括端点）何时温度最高？最高温度是多少？

20. 难度：中等

已知椭圆E：的右焦点F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且，|AB|最小值为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若圆：的切线l与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，问：OP与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

21. 难度：中等

数列{a_n}满足：（n=1，2，3，…，）．
（1）求a_n的通项公式；
（2）若b_n=-（n+1）a_n，试问是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有b_n≤b_k成立？证明你的结论．