2011-2012学年江西省赣州市兴国县平川中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={y|y=x²，x∈R}，则A∩B=（ ）
A．{x|-1≤x≤1}
B．{x|x≥0}
C．{x|0≤x≤1}
D．∅

2. 难度：中等

已知不等式x²-2x-3＜0的整数解构成等差数列{a_n}，则数列{a_n}的第四项为（ ）
A．3
B．-1
C．2
D．3或-1

3. 难度：中等

设集合M={平面内的点（a，b）}，N={f（x）|f（x）=acos2x+bsin2x，x∈R}，给出从M到N的映射f：（a，b）→f（x）=acos2x+bsin2x，则点（1，）的象f（x）的最小正周期为（ ）
A．π
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知函数f（x）为（-∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，则f（2012）+f（2013）的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1

5. 难度：中等

设随机变量X～N（2，8²），且P{2＜x＜4}=0.3，则P（x＜0）=（ ）
A．0.8
B．0.2
C．0.5
D．0.4

6. 难度：中等

已知函数f（n）=且a_n=f（n）+f（n+1），则a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀等于（ ）
A．0
B．100
C．-100
D．10200

7. 难度：中等

已知a＞b＞0，e₁，e₂分别为圆锥曲线 +=1和 -=1的离心率，则lg e₁+lg e₂的值（ ）
A．大于0且小于1
B．大于1
C．小于0
D．等于0

8. 难度：中等

已知圆（x-4）²+y²=a（a＞0）上恰有四个点到直线x=-1的距离与到点（1，0）的距离相等，则实数a的取值范围为（ ）
A．12＜a＜16
B．12＜a＜14
C．10＜a＜16
D．13＜a＜15

9. 难度：中等

设a=（sinx+cosx）dx，在展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）
A．180
B．90
C．45
D．360

10. 难度：中等

某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（ ）

A．22种
B．24种
C．25种
D．36种

二、填空题

11. 难度：中等

若函数f（x）=|x²-4x|-a的零点个数为3，则a=    ．

12. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，点E为AA₁的中点，在对角面BB₁D₁D上取一点M，使AM+ME最小，其最小值为    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=    ．

14. 难度：中等

函数y=log_a（x+3）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为    ．

15. 难度：中等

函数的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在斜△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且．
（1）求角A；
（3）若，求角C的取值范围．

17. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=2，AA₁=4，E为AA₁的中点，F为BC中点．
（1）求证：直线AF∥平面BEC₁；
（2）求平面BEC₁和平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

18. 难度：中等

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，右图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（1）求出f（5）；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；
（3）求+++…+的值．

19. 难度：中等

已知复数z=x+yi（x，y∈R）在复平面上对应的点为M．
（Ⅰ）设集合P={-4，-3，-2，0}，Q={0，1，2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个
数作为y，求复数z为纯虚数的概率；
（Ⅱ）设x∈[0，3]，y∈[0，4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．

20. 难度：中等

已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为，离心率，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（3）若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．

21. 难度：中等

已知函数的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
（Ⅰ）求实数b，c的值；  
（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．