2011-2012学年山东省济宁市梁山二中高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在等差数列{a_n} 中，a₃+a₅+2a₁₀=8，则此数列的前13项的和等于（ ）
A．8
B．13
C．16
D．26

2. 难度：中等

已知函数=（ ）
A．13
B．
C．
D．

3. 难度：中等

若不等式|x-2|+|x+3|＜a的解集为∅，则a的取值范围为（ ）
A．a＞5
B．a≥5
C．a＜5
D．a≤5

4. 难度：中等

如果复数（m²+i）（1+mi）是实数，则实数m=（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

5. 难度：中等

设全集U是实数集R，M={x|x²＞4}，N={x|x≥3或x＜1}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）

A．{x|-2≤x＜1}
B．{x|-2≤x≤2}
C．{x|1＜x≤2}
D．{x|x＜2}

6. 难度：中等

在直角三角形ABC中，AB=4，AC=2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

7. 难度：中等

“”是“tanα=-1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

y=（sinx-cosx）²-1是（ ）
A．最小正周期为2π的偶像函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π的奇函数

9. 难度：中等

若，，且，则向量的夹角为（ ）
A．45°
B．60°
C．120°
D．135°

10. 难度：中等

有如下三个命题：
①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；
②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；
③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直．其中正确命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

11. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²-bx+1（a、b∈R）在区间[-1，3]上是减函数，则a+b的最小值是（ ）
A．
B．
C．2
D．3

12. 难度：中等

设F是抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C₂：的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

若命题“∃x∈R，使x²+（a-1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为    ．

14. 难度：中等

设，则二项式的展开式中，x²项的系数为    ．

15. 难度：中等

若框图所给的程序运行结果为S=28，那么判断框中应填入的关于k的条件是    ．

16. 难度：中等

已知点P（x，y）在由不等式组确定的平面区域内，O为坐标原点，点A（-1，2），则||•cos∠AOP的最大值是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜）
（1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小；
（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角α的大小．

18. 难度：中等

将10个白小球中的3个染成红色，3个染成蓝色，试解决下列问题：
（1）求取出3个小球中红球个数ξ的分布列和数学期望；
（2）求取出3个小球中红球个数多于白球个数的概率．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点P（S_n，a_n）在直线（3-m）x+2my-m-3=0上，（m∈N^*，m为常数，m≠3）；
（1）求a_n；
（2）若数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足，求证：为等差数列，并求b_n；
（3）设数列{c_n}满足c_n=b_n•b_n+2，T_n为数列{c_n}的前n项和，且存在实数T满足T_n≥T，（n∈N*），求T的最大值．

20. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²-2x．
（1）设h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求h（x）的最大值；
（2）证明：当0＜b＜a时，求证：f（a+b）-f（2b）＜；
（3）设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x-1）＜xf（x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．

22. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=AA₁=1，D、E分别为棱AB、BC的中点，M为棱AA₁上的点．
（1）证明：A₁B₁⊥C₁D；
（2）当AM=时，求二面角M-DE-A的大小．