2011-2012学年江西省景德镇乐平中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设命题p：∀x∈R，x²≥xq：∃x∈R，x²≥x，则下列判断正确的是（ ）
A．p假q真
B．p真q假
C．p真q真
D．p假q假

2. 难度：中等

已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为（ ）
A．1
B．±1
C．2
D．±2

3. 难度：中等

复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

4. 难度：中等

如图，正方形的四个顶点为O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），曲线y=x²经过点B，现将一质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个φ值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F，直线x=与其渐近线交于A，B两点，且△ABF为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

要得到函数y=2cos（x+）sin（-x）-1的图象，只需将函数y=sin2x+cos2x的图象（ ）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位

8. 难度：中等

定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x）．当x∈（0，1]时，，则f（2010）的值是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

9. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足：对任意α，β∈R，总有f（α+β）-[f（α）+f（β）]=2008，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）-1是奇函数
B．f（x）+1是奇函数
C．f（x）-2008是奇函数
D．f（x）+2008是奇函数

10. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），定义使a₁•a₂•a₃…a_k为整数的数k（k∈N^*）叫做企盼数，则区间[1，2011]内所有的企盼数的和为（ ）
A．1001
B．2030
C．2026
D．2048

二、填空题

11. 难度：中等

已知向量与的夹角为120°，且，则的值为    ．

12. 难度：中等

若实数x，y满足，则s=2^2x•4^y的最小值为    ．

13. 难度：中等

某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为    ．

14. 难度：中等

设a₁，a₂，…，a_n 是1，2，…，n 的一个排列，把排在a_i 的左边且比a_i 小的数的个数称为a_i 的顺序数（i=1，2，…，n）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为    ．（结果用数字表示）

15. 难度：中等

（本大题共2个小题，任选一题作答，若做两题，则按所做的第（1）题给分，共5分）
（1）曲线ρ=2cosθ关于直线对称的曲线的极坐标方程为   
（2）（不等式选讲）在区间[t，t+1]上满足不等式|x³-3x+1|≥1的解有且只有一个，则实数t的取值范围为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=cos²x-sin²x+2sonxcosx+1．
（1）求f（x）的最小正周期，并求f（x）的最小值；
（2）若f（a）=2，且a∈[，]，求a的值．

17. 难度：中等

如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，…，依此类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．记小弹子落入第n层第m个竖直通道（从左至右）的概率为P（n，m）．（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）
（Ⅰ）求P（2，1），P（3，2）的值，并猜想P（n，m）的表达式．（不必证明）
（Ⅱ）设小弹子落入第6层第m个竖直通道得到分数为ξ，其中ξ=，试求ξ的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

如图，在三棱拄ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，AB=，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

19. 难度：中等

已知函数，且．（e是自然对数的底数）
（1）求a与b的关系式；
（2）若f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知A₁，A₂为双曲线C：的左右两个顶点，一条动弦垂直于x轴，且与双曲线交于P，Q（P点位于x轴的上方），直线A₁P与直线A₂Q相交于点M，
（1）求出动点M（2）的轨迹方程
（2）设点N（-2，0），过点N的直线交于M点的轨迹上半部分A，B两点，且满足，其中，求出直线AB斜率的取值范围．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两实根，且a₁=1．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n；
（3）问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对∀n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．