2011-2012学年广东省梅州市东山中学高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A=|（x，y）|y=x|，B=|（x，y）|y=2x-1|，则A∩B=（ ）
A．∅
B．（1，1）
C．|（1，1）|
D．R

2. 难度：中等

若角α的终边经过点P（3，-4），则sinα的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知向量=（3，1），=（-1，3），那么（ ）
A．⊥
B．∥
C．＞
D．||＞||

4. 难度：中等

函数f（x）=x⁴-x²+1在点x=1处的切线方程为（ ）
A．y=x+1
B．y=x-1
C．y=2x+1
D．y=2x-1

5. 难度：中等

函数y=sin2x的图象向左平移后，得到的图象对应于函数（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

不等式的解集是（ ）
A．{x|≤x≤2}
B．{x|≤x＜2}
C．{x|x＞2或x≤}
D．{x|x≥}

7. 难度：中等

“”是“一元二次方程x²+x+m=0有实数解”的（ ）
A．充分非必要条件
B．充分必要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件

8. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）
A．72
B．66
C．60
D．30

9. 难度：中等

已知函数f₁（x）=a^x，f₂（x）=x^a，f₃（x）=log_ax（其中a＞0且a≠1），在同一坐标系中画出其中两个函数在x≥0且y≥0的范围内的大致图象，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则的最小值是（ ）
A．-4
B．-2
C．2
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

函数的定义域为    ．

12. 难度：中等

函数y=sin（ϖx+φ）（x∈R，φ＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图所示，则ϖ=    ，φ=    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，已知，，则sinC=    ．

14. 难度：中等

已知定义在R上的偶函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0≤x≤1时，f（x）=x²，若直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有三个交点，则a的取值范围为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数，
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值和最小值；
（3）若，求sin2x的值．

16. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，满足a²+c²-b²=ac．
（1）求角B的大小；
（2）设，，求的最小值．

17. 难度：中等

在经济学中，函数f（x）的边际函数定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）．某公司每月生产x台某种产品的收入为R（x）元，成本为C（X）元，且R（x）=3000x-20x²，C（x）=500x+4000（x∈N^*）．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．
（I）求利润函数P（x）I以及它的边际利润函数MP（x）；
（II）求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．

18. 难度：中等

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且 PA=AB=AC=2，点E是PD的中点．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）求证：PB∥平面AEC；
（3）求三棱锥P-AEC的体积．

19. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）若对∀x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），试证明∃x∈（x₁，x₂），使成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件①对∀x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②对∀x∈R，都有．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f'（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）=h（x）（x²-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a）．
（1）设函数，其中b为实数．
（i）求证：函数f（x）具有性质P（b）；
（ii）求函数f（x）的单调区间．
（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，设m为实数，a=mx₁+（1-m）x₂，β=（1-m）x₁+mx₂，且a＞1，β＞1，若|g（a）-g（β）|＜|g（x₁）-g（x₂）|，求m取值范围．