2009-2010学年广东省广州市海珠区高一（上）学业质量监测数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（ ）
A．M⊆N
B．N⊆M
C．M∩N={2，3}
D．M∪N={1，4}

2. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知直线过点P（-2，1）和点Q（1，4），则直线PQ的斜率是（ ）
A．1
B．-3
C．3
D．2

3. 难度：中等

已知球的直径是4cm．则它的表面积是（单位：cm²）（ ）
A．
B．
C．8π
D．16π

4. 难度：中等

下列函数在区间（0，+∞）上为减函数的是（ ）
A．y=3^x
B．
C．
D．y=（x+1）²

5. 难度：中等

已知空间直角坐标系中两点A（3，-1，2），B（0，-1，-2），则A，B两点间的距离是（ ）
A．3
B．
C．
D．5

6. 难度：中等

圆C₁：x²+y²=4和C₂：（x-3）²+（y+4）²=49的位置关系是（ ）
A．相交
B．相离
C．内切
D．外切

7. 难度：中等

a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：
①若a∥M，b∥M，则a∥b；
②若b⊂M，a∥b，则a∥M；
③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；
④若a⊥M，b⊥M，则a∥b．
其中正确命题的个数有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

8. 难度：中等

设f（x）（x∈R）为偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，则f（-2）、f（-π）、f（3）的大小顺序是（ ）
A．f（-π）＜f（-2）＜f（3）
B．f（-π）＞f（-2）＞f（3）
C．f（-π）＜f（3）＜f（-2）
D．f（-π）＞f（3）＞f（-2）

9. 难度：中等

如图，ABC-A₁B₁C₁是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA₁B₁B的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

直角梯形ABCD如图1，动点P从点B出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f（x）．如果函数y=f（x）的图象如图2所示，则△ABC的面积为（ ）

A．10
B．32
C．18
D．16

二、解答题

11. 难度：中等

求函数y=log_a（a^x-1） （a＞0，a≠1）的定义域．

三、填空题

12. 难度：中等

如果幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为    ．

13. 难度：中等

如果直线x+（a-1）y+1=0与直线ax+2y+2=0互相平行，则a的值为    ．

14. 难度：中等

（lg5）²+lg2×lg50=    ．

四、解答题

15. 难度：中等

已知直线l₁：3x+4y-5=0与直线l₂：2x-3y+8=0交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）求过点P且与l₁垂直的直线l的方程．

16. 难度：中等

有一个几何体的三视图如下图所示，主视图（正视图）和左视图（侧视图）均为边长为3的等边三角形，俯视图为边长为3的正方形，求这个几何体的表面积和体积．

17. 难度：中等

为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．如图所示，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为（a为常数）．
（1）求常数a的值；
（2）求从药物释放开始，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；
（3）当药物释放完毕后，规定空气中每立方米的含药量不大于0.25毫克时，学生方可进入教室．问从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室？

18. 难度：中等

如图，已知四边形ABCD是边长为4cm的正方形，直线AD垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点E是该圆上异于A，B的一点，连接AE、BE、DE、CE．
（1）求证：平面ADE⊥平面BCE；
（2）若∠BAE=30°，求几何体CD-ABE的体积．

19. 难度：中等

已知点P（2，0）及圆C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；
（Ⅱ）设过P直线l₁与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；
（Ⅲ）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l₂垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知f（x）=mx²+3（m-4）x-9（m∈R）．
（1）试判断函数f（x）的零点的个数；
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，求d=|x₁-x₂|的最小值；
（3）若m=1，且不等式f（x）-a＞0对x∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．