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2011-2012学年湖南师大附中高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
一、选择题
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1. 难度:中等
椭圆manfen5.com 满分网的离心率是( )
A.manfen5.com 满分网
B.manfen5.com 满分网
C.manfen5.com 满分网
D.manfen5.com 满分网
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2. 难度:中等
给出下列四个命题:其中真命题的是( )
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
B.命题“∃x∈R,x2+x-1<0”的否定是“∀x∈R,x2+x-1>0”
C.命题“若x=y”,则sinx=siny”的逆否命题为真命题
D.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
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3. 难度:中等
把67化为二进制数为( )
A.110000
B.1011110
C.1100001
D.1000011
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4. 难度:中等
已知命题p:∃x∈R,使manfen5.com 满分网;命题q:∀x∈R,都有x2+x+1>0.给出下列结论:
①命题“p∧q”是真命题;
②命题“p∧¬q”是假命题;
③命题“¬p∨q”是真命题;
④命题“¬p∨¬q”是假命题.
其中正确的是( )
A.②③
B.②④
C.③④
D.①②③
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5. 难度:中等
某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x(万元)4235
销售额y(万元)49263954
  根据上表可得回归方程manfen5.com 满分网中的manfen5.com 满分网为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A.63.6万元
B.65.5万元
C.67.7万元
D.72.0万元
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6. 难度:中等
已知抛物线顶点在原点,焦点为双曲线manfen5.com 满分网的右焦点,则此抛物线的方程是( )
A.y2=2
B.y2=4
C.y2=10
D.y2=20
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7. 难度:中等
若点O和点F分别为椭圆manfen5.com 满分网的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则manfen5.com 满分网的最大值为( )
A.2
B.3
C.6
D.8
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8. 难度:中等
抛物线y=2x2上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1•x2=-manfen5.com 满分网,则m等于( )
A.manfen5.com 满分网
B.2
C.manfen5.com 满分网
D.3
二、填空题
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9. 难度:中等
在边长为2的正方形内随机地取一点,则该点到正方形中心的距离小于1的概率为   
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10. 难度:中等
双曲线y2-4x2=64上一点P到它的一个焦点的距离等于1,则P到它的另一个焦点的距离等于为   
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11. 难度:中等
如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是    manfen5.com 满分网
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12. 难度:中等
已知定圆C1:(x+2)2+y2=49,定圆C2:(x-2)2+y2=49,动圆M与圆C1内切且和圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为   
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13. 难度:中等
若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为   
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14. 难度:中等
曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:
①曲线C过坐标原点;
②曲线C关于坐标原点对称;
③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于manfen5.com 满分网a2
其中,所有正确结论的序号是   
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15. 难度:中等
若双曲线C1manfen5.com 满分网的一条渐近线与抛物线C2:y2=2px(p>0)的一个交点在x轴上的射影在抛物线C2的焦点的右侧,则双曲线C1的离心率的取值范围是   
三、解答题
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16. 难度:中等
已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调递减,q:设函数manfen5.com 满分网对任意的x,恒有y>1.若p∧q为假,p∨q为真,求a的取值范围.
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17. 难度:中等
已知动圆M过定点F(2,0),且与直线x=-2相切,动圆圆心M的轨迹为曲线C
(1)求曲线C的方程
(2)若过F(2,0)且斜率为1的直线与曲线C相交于A,B两点,求|AB|
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18. 难度:中等
对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:
分组频数频率
[10,15)100.25
[15,20)24n
[20,25)mp
[25,30)20.05
合计M1
(Ⅰ)求出表中M,p及图中a的值;
(Ⅱ)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;
(Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.

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19. 难度:中等
设P为椭圆manfen5.com 满分网上任意一点,F1,F2为左、右焦点.
(1)若∠F1PF2=60°,求|manfen5.com 满分网|-|manfen5.com 满分网|;
(2)椭圆上是否存在点P,使manfen5.com 满分网-manfen5.com 满分网=0若存在,求出P点的坐标,若不存在,试说明理由.

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20. 难度:中等
为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地,视冰川面为平面形,以过A、B两点的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图).考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域.
(1)求考察区域边界曲线的方程:
(2)如图所示,设线段P1P2(3)是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍.问:经过多长时间,点A恰好在冰川边界线上?

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21. 难度:中等
已知椭圆C:manfen5.com 满分网与双曲线manfen5.com 满分网-y2=1有公共焦点,且离心率为manfen5.com 满分网.A,B分别是椭圆C的左顶点和右顶点.点S是椭圆C上位于x轴上方的动点.直线AS,BS分别与直线l:x=manfen5.com 满分网分别交于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)延长MB交椭圆C于点P,若PS⊥AM,试证明MS2=MB•MP.
(3)当线段MN的长度最小时,在椭圆C上是否存在点T,使得△TSB的面积为manfen5.com 满分网?若存在确定点T的个数,若不存在,说明理由.

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