2007-2008学年湖北省武汉市华中师大一附中高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={3，4，5}，B={3，6}，I={3，6}，则C_I（A∩B）=（ ）
A．{3}
B．{3，4，5，6}
C．Φ
D．{6}

2. 难度：中等

已知条件p：x²+x-2＞0，条件q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围可以是（ ）
A．a≥1
B．a≤1
C．a≥-1
D．a≤-3

3. 难度：中等

将函数f（x）=2^x+1-1的反函数的图象按向量=（1，1）平移后得到函数g（x）的图象，则g （x）的表达式为（ ）
A．g（x）=log₂（x+2）
B．g（x）=log₂
C．g（x）=log₂x-2
D．g（x）=log₂x+2

4. 难度：中等

下列判断：①（a^m）ⁿ=a^m+n②函数y=1+e^x是增函数 ③b²=4ac是方程ax²+bx+c=0有且只有一个实根的充要条件 ④y=lnx与y=-lnx的图象关于x轴对称．其中正确判断的个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

5. 难度：中等

已知向量，满足，，，则=（ ）
A．0
B．4
C．2
D．

6. 难度：中等

函数y=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图，则（ ）
A．ω=，φ=
B．ω=，φ=
C．ω=，φ=
D．ω=，φ

7. 难度：中等

对于，，则m、n之间的大小关系是（ ）
A．m＞n
B．m＜n
C．m≥n
D．m≤n

8. 难度：中等

在△ABC中，三条边长成等差数列且最小角的正弦值与最大角的正弦值之比为3：5，则△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．锐角三角形

9. 难度：中等

如图所示，在△ABC中，BC边上的两点D、E分别与A连线，假设，三角形ABC，ABD，ABE的外接圆直径分别为d，e，f，则（ ）

A．d＜f＜e
B．e＜f＜d
C．d=e＜f
D．e=d＞f

10. 难度：中等

已知函数的图象C上存在一点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），恒有y₁+y₂为定值y，则y的值为（ ）
A．
B．
C．
D．-2

二、填空题

11. 难度：中等

数列{a_n}中，若a₁=1，a_n-1a_n=n（n≥2），则a₄=    ．

12. 难度：中等

已知向量=（2，3），，2），若与共线，则等于    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=log₃（ax+1）在[2，4]上是增函数，则a的范围是    ．

14. 难度：中等

某校对文明班的评选设计了a，b，c，d，e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出0＜c＜d＜e＜b＜a，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为    ．（填入a，b，c，d，e中的某个字母）

15. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d（b，c，d为常数），当k∈（-∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）-k=0只有一个实根；当k∈（0，4）时，f（x）-k=0只有3个相异实根，现给出下列4个命题：
①f（x）=4和f′（x）=0有一个相同的实根；
②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根；
③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）-1=0的任一实根；
④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）-2=0的任一实根．
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x-2，（a＞0且a≠1）．
（1）求y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）解关于x的不等式f^-1（x）＞log_a（x²）．

17. 难度：中等

设函数R）的最大值为M，最小正周期为T
（1）求M，T及函数的单调增区间；
（2）10个互不相等的正数x_i满足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10）求x₁+x₂+…+x₁₀的值．

18. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₂+a₅=18，a₃•a₄=32，且a_n+1＜a_n（n∈N*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_n=lga₁+lga₂+…+lga_n，求T_n的最大值及此时n的值．

19. 难度：中等

在一次战争中，为了测量河对岸敌军两营地B、C之间的距离．在我军所在河岸边选取一点A，使，，与的夹角为θ（0°＜θ＜90°），且，求B、C两营地之间的距离及与的夹角．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²-x+c（a，b，c∈R且a≠0），
（1）若b=1且f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围；
（2）若存在实数x₁，x₂（x₁≠x₂）满足f（x₁）=f（x₂），是否存在实数a，b，c使f（x）在处的切线斜率为0，若存在，求出一组实数a，b，c否则说明理由．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，对每一个k∈N^*，在a_k与a_k+1之间插入2^k-1个2，得到新数列{b_n}．设S_n，T_n 分别是数列{b_n}和数列{a_n}的前n项和．
（1）求数列{b_n}的前6项和S₆；
（2）a₁₀是数列{b_n}的第几项；
（3）若a_m是数列{b_n}的第f（m）项，试比较S_f（m）与2T_m的大小，并说明理由．