2010-2011学年北京市首师大附中高一（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位

2. 难度：中等

下列关于向量a，b的命题中，假命题为（ ）
A．若a²+b²=0，则a=b=0
B．若k∈R，ka=0，则k=0或a=0
C．若a•b=0，则a=0或b=0
D．若a，b都是单位向量，则a•b≤1恒成立

3. 难度：中等

下列四个函数中，同时具有以下性质：
①图象关于直线对称；②相邻两条对称轴间的距离为，则这个函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如图，向量-等于（ ）

A．-2e₁-4e₂
B．-4e₁-2e₂
C．e₁-3e₂
D．-e₁+3e₂

5. 难度：中等

设，，，则（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c

6. 难度：中等

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（-1，3），若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（ ）
A．3x+2y-11=0
B．（x-1）²+（y-2）²=5
C．2x-y=0
D．x+2y-5=0

7. 难度：中等

已知α是第三象限角sinα=-，则tg=（ ）
A．
B．
C．-
D．-

8. 难度：中等

一质点受到平面上的三个力F₁，F₂，F₃（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知D成120°角，且y=g（x）的大小分别为1和2，则有（ ）
A．F₁，F₃成90°角
B．F₁，F₃成150°角
C．F₂，F₃成90°角
D．F₂，F₃成60°角

二、填空题

9. 难度：中等

若tanα=，则tan（α+）=    ．

10. 难度：中等

已知，则线段AB的中点C的坐标为    ．

11. 难度：中等

计算=    ．

12. 难度：中等

函数的最小正周期为    ；最大值分别为    ．

13. 难度：中等

当时，函数y=3-sinx-2cos²x的最小值是    ，最大值是    ．

14. 难度：中等

已知圆M：（x+cosq）²+（y-sinq）²=1，直线l：y=kx，下面四个命题：
（A）对任意实数k与q，直线l和圆M相切；
（B）对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；
（C）对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切
（D）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切
其中真命题的代号是    ．（写出所有真命题的代号）

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=asinxcosx-2cos²x+1的图象经过点．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若x∈[0，π），求函数f（x）的单调递减区间．

16. 难度：中等

已知cosα=，cos（α-β）=，且0＜β＜α＜，
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求β．

17. 难度：中等

已知：、、是同一平面上的三个向量，其中=（1，2）．
（1）若||=2，且∥，求的坐标．
（2）若||=，且+2与2-垂直，求与的夹角θ

18. 难度：中等

将一块圆心角为120°，半径为20 cm的扇形铁片截成一块矩形，如图，有2种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA上或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值．

19. 难度：中等

设函数，其中n为正整数．
（Ⅰ）判断函数f₁（θ）、f₃（θ）的单调性，并就f₁（θ）的情形证明你的结论；
（Ⅱ）证明：2f₆（θ）-f₄（θ）=（cos⁴θ-sin⁴θ）（cos²θ-sin²θ）；
（Ⅲ）试给出求函数f_n（θ）的最大值和最小值及取得最值时θ的取值的一般规律（不要求给出证明）．

fn（θ）	fn（θ）的 单调性	fn（θ）的最小值及取得最小值时θ的取值	fn（θ）的最大值及取得最大值时θ的取值
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6