2010-2011学年浙江省宁波市象山中学、象山港书院高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．y=±2
C．
D．

2. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．23

3. 难度：中等

由方程x|x|-y|y|=1确定的函数y=f（x）在（-∞，+∞）上是（ ）
A．增函数
B．减函数
C．奇函数
D．偶函数

4. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，且|F₁F₂|=2c，点A在椭圆上，，，则椭圆的离心率e=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数y=x³-3x+1的极大值为m，极小值为n，则m+n为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4

6. 难度：中等

设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a^x=b^y=3，a+b=2的最大值为（ ）
A．2
B．
C．1
D．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=asinx-bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R）在处取得最小值，则函数是（ ）
A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称
B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称
D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

8. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，，则a_n=（ ）．
A．2+lnn
B．2+（n-1）lnn
C．2+nlnn
D．1+n+lnn

9. 难度：中等

与向量的夹角相等，且模为1的向量是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和是，则使a_n＜-2006成立的最小正整数n为（ ）
A．2009
B．2010
C．2011
D．2012

二、填空题

11. 难度：中等

已知抛物线过点P（2，4），则该抛物线的标准方程是    ．

12. 难度：中等

由正数构成的等比数列{a_n}，若a₁a₃+a₂a₄+2a₂a₃=49，则a₂+a₃=    ．

13. 难度：中等

如图，有一块边长为15cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为xcm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，若该盒子的体积最大，那么截去的小正方形的边长x是    cm．

14. 难度：中等

已知点，如果直线l：ax+y+2=0经过点Q，那么实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，则mn的最大值为    ．

16. 难度：中等

若关于x的不等式（2x-1）²＜ax²的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是    ．

17. 难度：中等

设函数f（x）=ax³-3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c且．
（1）求的值；
（2）若a=2，且，求△ABC的面积．

19. 难度：中等

已知直线与圆C_n：x²+y²=2a_n+n+2（n∈N⁺）交于不同点A_n、B_n，其中数列a_n满足：．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列b_n的前n项和S_n．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数
（I）求a的值；
（II）求λ的取值范围；
（III）若g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．

21. 难度：中等

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F₂C|=|F₂D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+lnx，（x＞0）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）令g（x）=x³+（a-2e）x²+（a+e²）x（其中e为自然对数的底数），讨论函数H（x）=f（x）-g（x）的零点的个数；
（3）若函数y=f（x）的图象上任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂），都满足（其中k是直线AB的斜率），则称函数y=f（x）为优美函数，当a=0时，函数f（x）是否是优美函数，如果是，请证明，如果不是，请说明理由．