2010-2011学年安徽省马鞍山市当涂县第二中学高二（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数y=sin（2x²+x）导数是（ ）
A．y′=cos（2x²+x）
B．y′=2xsin（2x²+x）
C．y′=（4x+1）cos（2x²+x）
D．y′=4cos（2x²+x）

2. 难度：中等

在“近似替代”中，函数f（x）在区间[x_i，x_i+1]上的近似值（ ）
A．只能是左端点的函数值f（x_i）
B．只能是右端点的函数值f（x_i+1）
C．可以是该区间内的任一函数值f（ξ_i）（ξ_i∈[x_i，x_i+1]）
D．以上答案均正确

3. 难度：中等

函数y=x³-3x²-9x（-2＜x＜2）有（ ）
A．极大值5，极小值-27
B．极大值5，极小值-11
C．极大值5，无极小值
D．极小值-27，无极大值

4. 难度：中等

函数y=cos2x在点处的切线方程是（ ）
A．4x+2y+π=0
B．4x-2y+π=0
C．4x-2y-π=0
D．4x+2y-π=0

5. 难度：中等

设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g（3）=0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A．（-3，0）∪（3，+∞）
B．（-3，0）∪（0，3）
C．（-∞，-3）∪（3，+∞）
D．（-∞，-3）∪（0，3）

6. 难度：中等

函数y=x²（-≤x≤）图象上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（ ）
A．[0，]∪[，π）
B．[0，π]
C．[，]
D．[0，]∪（，）

7. 难度：中等

（文）若点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若，则ω⁴+ω²+1等于（ ）
A．1
B．0
C．
D．

9. 难度：中等

与的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．无法判断

10. 难度：中等

已知复平面内的平行四边形ABCD中，定点A度应的复数为i（i是虚数单位），向量对应的复数为2+i，则点D对应的复数为．（ ）
A．2
B．2+2i
C．-2
D．-2-2i

11. 难度：中等

曲线y=e^x，y=e^-x和直线x=1围成的图形面积是（ ）
A．e-e^-1
B．e+e^-1
C．e-e^-1-2
D．e+e^-1-2

12. 难度：中等

已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

定义运算，若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z=    ．

14. 难度：中等

若，则=    ．

15. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax²+bx+a²，在x=1时有极值10，那么a，b的值分别为    ．

16. 难度：中等

观察以下不等式

可归纳出对大于1的正整数n成立的一个不等式，则不等式右端f（n）的表达式应为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=3x³-9x+5．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．

18. 难度：中等

计算题
（1）∫₁²
（2）．

19. 难度：中等

用反证法证明．若a、b、c均为实数，且a=x²-2y+，b=y²-2z+，c=z²-2x+，求证：a、b、c中至少有一个大于0．

20. 难度：中等

某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x，x∈（0，0.048），则当x为多少时，银行可获得最大收益？

21. 难度：中等

设函数的图象关于原点对称，且f（x）的图象在点p（1，m）处的切线的斜率为-6，且当x=2时，f（x）有极值．
（1）求a，b，c，d的值；
（2）若x₁，x₂∈[-1，1]时，求证．

22. 难度：中等

设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…，
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想出{a_n}的一个通项公式并证明你的结论．