Question

设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…，
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想出{a_n}的一个通项公式并证明你的结论．

Answer

（1）由数列{an}满足：an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，…及a1=2，我们易得到a2，a3，a4的值；
（2）由（1）可归纳数列中每一项的值与序号的关系，我们可以归纳推理出an的一个通项公式．使用数学归纳法，先证明n=1时，结论成立，再假设n=k时结论成立，进而论证n=k+1时，结论依然成立，从而得证．
【解析】
（1）由a1=2，得a2=a12-a1+1=3
由a2=3，得a3=a22-2a2+1=4
由a3=4，得a4=a32-3a3+1=5
（1）用数学归纳法证明
①由a1=2=1+1知n=1时，an=n+1成立
设n=k（k属于正整数）时an=n+1成立，即ak=k+1
则当n=k+1时，因为an+1=an2-nan+1，
所以ak+1=ak2-k（k+1）+1=（k+1）2-k（k+1）+1=k2+2k+1-k2-k+1=k+2
综上，an=n+1成立