2009-2010学年浙江省宁波市八校联考高一（下）期末数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，，AD⊥PB，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．

（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角P-DC-B的大小；
（3）若M是侧棱PB中点，求直线CM与平面PAB所成角的正弦值．

2. 难度：中等

若关于x的不等式（m-3）x²-2mx-8＞0（m∈R）的解集是一个开区间D，定义开区间（a，b）的长度l=b-a．
（1）求开区间D的长度l（l用m表示），并写出其定义域
（2）若l∈[1，2]，求实数m的取值范围．

3. 难度：中等

在坐标平面 内有一点列A_n（n=0，1，2，…），其中A（0，0），A_n（x_n，n）（n=1，2，3，…），并且线段A_nA_n+1所在直线的斜率为2ⁿ（n=0，1，2，…）．
（1）求x₁，x₂
（2）求出数列{x_n}的通项公式x_n
（3）设数列{nx_n}的前n项和为S_n，求S_n．

二、选择题

4. 难度：中等

直线的倾斜角是（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．135°

5. 难度：中等

不等式ax²-x+6＞0的解集是{x|-3＜x＜2}，则不等式6x²-x+a＞0的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：7，则△ABC（ ）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

7. 难度：中等

各项都是正数的等比数列{a_n}中，a₂，a₃，a₁成等差数列，则的值为（ ）
A．
B．
C．-
D．或

8. 难度：中等

设m、n、l是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．α⊥γ，β⊥γ⇒α∥β
B．m∥β，l⊥m⇒l⊥β
C．m∥α，n∥α⇒m∥n
D．m⊥α，n⊥α⇒m∥n

9. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=2009，a₂=2010，a_n=a_n-1+a_n+1（n≥2，n∈N），则这个数列的前2010项和S₂₀₁₀等于（ ）
A．0
B．1
C．2010
D．2011

10. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC⊥BE
B．A₁C⊥平面AEF
C．三棱锥A-BEF的体积为定值
D．异面直线AE、BF所成的角为定值

11. 难度：中等

三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB=2，PC=3，且这个三棱锥的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（ ）
A．
B．56π
C．14π
D．64π

12. 难度：中等

如果点P在平面区域内，点Q在曲线上，那么|PQ|的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

不等式3•4^x+8（a-a²）•2^x+8（a-a²）+9＞0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

三、填空题

14. 难度：中等

在空间直角坐标系中，A（2，3，4），B（3，1，2）两点之间的距离为    ．

15. 难度：中等

与直线4x+3y+5=0平行，且在y轴上的截距为的直线方程为    ．

16. 难度：中等

如图，是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是    ．

17. 难度：中等

若a是1+2b 与1-2b 的等比中项，则的最小值是    ．

18. 难度：中等

已知圆的方程为x²+y²-6x-8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为    ．

19. 难度：中等

已知，则f（x）_min-g（x）_max=    ．

20. 难度：中等

定义：在数列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p，（n≥2，n∈N^*，p为常数），则称{a_n}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断：
①若{a_n}是“等方差数列”，则数列是等差数列；
②{（-2）ⁿ}是“等方差数列”；
③若{a_n}是“等方差数列”，则数列{a_kn}（k∈N^*，k为常数）也是“等方差数列”；
④若{a_n}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列．
其中正确的命题为    ．（写出所有正确命题的序号）

四、解答题

21. 难度：中等

已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，．
（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=4，求b、c的值．

22. 难度：中等

已知圆C圆心在直线y=x-1上，且过点A（1，3），B（4，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线x+2y+m=0与圆C相交于M、N两点，O为坐标原点，且∠MON=60°，求m的值．