2009-2010学年河南省洛阳市高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知曲线y=1-x²上一点P（，），则过点P的切线的倾斜角为（ ）
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°

2. 难度：中等

设f（x）=xlnx，若f′（x）=2，则x=（ ）
A．e²
B．e
C．
D．ln2

3. 难度：中等

平行四边形ABCD的顶点A、B、C对应的复数分别为2+i，4+3i，3+5i，则顶点D所对应的复数是（ ）
A．1+3i
B．1+4i
C．2+3i
D．3+4i

4. 难度：中等

下面使用类比推理正确的是（ ）
A．由“a（b+c）=ab+ac”类比推出“cos（α+β）=cosα+cosβ”
B．由“若3a＜3b，则a＜b”类比推出“若ac＜bc，则a＜b”
C．由“平面内容垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”
D．由“等差数列{a_n}中，若a₁₀=0，则a₁+a₂+L+a_n=a₁+a₂+L+a_19-n（n＜19，n∈N^*）”类比推出“在等比数列{b_n}中，若b₉=1，则有b₁b₂Lb_n=b₁b₂Lb_17-n（n＜17，n∈N^*）”

5. 难度：中等

满足|z-i|=3|z-4|的复数z所对应的点的轨迹是（ ）
A．直线
B．射线
C．抛物线
D．圆

6. 难度：中等

设，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．不存在

7. 难度：中等

曲线y=x²-2x+3与直线y=x+3所围成图形的面积为（ ）
A．3
B．
C．
D．5

8. 难度：中等

已知函数f（x）=（）^x，a，b∈R₊，A=f（），B=f（），C=f（），则A、B、C的大小关系为（ ）
A．A≤B≤C
B．A≤C≤B
C．B≤C≤A
D．C≤B≤A

9. 难度：中等

某箱子的容积V与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为（ ）
A．30
B．40
C．50
D．其他

10. 难度：中等

已知f（n）=+++…+，则（ ）
A．f（n）中共有n项，当n=2时，f（2）=+
B．f（n）中共有n+1项，当n=2时，f（2）=++
C．f（n）中共有n²-n项，当n=2时，f（2）=+
D．f（n）中共有n²-n+1项，当n=2时，f（2）=++

11. 难度：中等

函数y=1+3x-x³有（ ）
A．极小值-1，极大值1
B．极小值-2，极大值3
C．极小值-2，极大值2
D．极小值-1，极大值3

12. 难度：中等

对于函数f（x）定义域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂）有如下结论
①f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）；
②f=f（x₁）+f（x₂）；
③；
④．
当时，上述结论中正确的序号是（ ）
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④

二、填空题

13. 难度：中等

复数的共轭复数是    ．

14. 难度：中等

∫_-2²|x²-x|dx的值为    ．

15. 难度：中等

若函数y=-x³+bx有三个单调区间，则b的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，令a_n=lgx_n，则a₁+a₂+…+a₉₉的值为______．

17. 难度：中等

当实数m为何值时，复平面内表示复数z=（m²-8m+15）+（m²+3m-28）i的点
（1）位于第四象限；
（2）位于直线y=2x-40的右下方（不包括边界）．

18. 难度：中等

已知直线l₁为曲线y=x²在点（1，1）处的切线，l₂为该曲线的另一条切线，且l₁⊥l₂．
（1）求直线l₁与l₂的方程；
（2）求直线l₁，l₂与x轴所围成的三角形的面积．

19. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，证明：

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+x为奇函数，且f（1）-f（-1）=4．
（1）求实数a，b的值；
（2）若对于任意的x∈[0，2]，都有f（x）＜c²-9c恒成立，求实数c的取值范围．

21. 难度：中等

设函数f（x）=（2x²+bx+c）•e^x在x=与x=-1时有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在[-1，2]和的最大值与最小值．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}中，首项a₁=1，S_n是其前n项的和，并且满足S_n=n²a_n（n∈N^*）．
（1）试求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）试归纳数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．