Question

已知数列{a_n}中，首项a₁=1，S_n是其前n项的和，并且满足S_n=n²a_n（n∈N^*）．
（1）试求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）试归纳数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer

（1）利用数列的前n项和与第n项的关系，得到关于数列的递推关系式，即可求得此数列的前几项．
（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设当n=k+1时，有ak=，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．
【解析】
（1）∵Sn=n2an，∴an+1=Sn+1-Sn=（n+1）2an+1-n2an
∴
∴，，，，
（2）猜测 ；下面用数学归纳法证
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即ak=
则当n=k+1时，
故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有an=．