2010-2011学年重庆市万盛区田家炳中学高二（下）数学试卷：球、排列组合、二项式定理、随机事件的概率（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若球的大圆的面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的（ ）
A．3倍
B．27倍
C．3倍
D．倍

2. 难度：中等

长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ）
A．20π
B．25π
C．50π
D．200π

3. 难度：中等

展开式中的常数项为（ ）
A．15
B．-15
C．20
D．-20

4. 难度：中等

一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，且这两点间的球面距离为，则北纬45°圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

北京时间2011年3月11日13时46分，日本时间14时46分，日本发生里氏9.0级地震，震中位于宫城县以东太平洋海域，震源深度20公里，东京有强烈震感．在灾后第一时间，重庆红十字会就组织3名医生和4名护士奔赴灾区，全部安排到受灾较严重的3所学校救助受伤师生，要求每校至少安排1名医生和1名护士，不同的安排方法共有（ ）
A．216种
B．72种
C．324种
D．504种

7. 难度：中等

若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（ ）
A．120个
B．80个
C．40个
D．20个

8. 难度：中等

2³³除以9的余数是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8

9. 难度：中等

如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）

A．96
B．84
C．60
D．48

10. 难度：中等

在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的所有项系数和是    ．

12. 难度：中等

若（x+y）⁹按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x+y=1，xy＜0，则x的取值范围是    ．

13. 难度：中等

2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为    ．

14. 难度：中等

甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4}，若|a-b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为    ．

15. 难度：中等

四九中某男生将“煌、给、1、力、2、九、0、创、1、四、再、辉”四个数字和八个汉字随意排成一行，若排成“给力2011四九再创辉煌”，则该生获得“四九数学给力哥”称号，则该生获得“四九数学给力哥”称号的概率为    （本题参考公式8!=40320；9!=362880；10!=3628800；  11!=39916800；12!=479001600）

三、解答题

16. 难度：中等

已知的展开式中，x的系数为，求：
（1）a的值；
（2）展开式中二项式系数最大的项．

17. 难度：中等

甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个．甲、乙二人依次各抽一题．
（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

18. 难度：中等

A、B、C是半径为1的球面上三点，B、C间的球面距离为，点A与B、C两点间的球面距离均为，且球心为O，求：
（1）∠AOB，∠BOC的大小；
（2）球心到截面ABC的距离；
（3）球的内接正方体的表面积与球面积之比．

19. 难度：中等

已知集合A={x|x²+2x-3＜0}，．
（1）在区间（-4，4）上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；
（2）设（a，b）为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求“b-a∈A∪B”的概率．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，，AB=2CD=8．
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？
（Ⅲ）求四棱锥P-ABCD的体积．

21. 难度：中等

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°．
（Ⅰ）证明：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．