2011年5月山西省运城市盐湖区康杰中学高三（下）月考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

（选做题）选修4-5：不等式选讲
已知|x₁-2|＜1，|x₂-2|＜1．
（Ⅰ）求证：|x₁-x₂|＜2；
（Ⅱ）若f（x）=x²-x+1，求证：|x₁-x₂|≤|f（x₁）-f（x₂）|≤5|x₁-x₂|．

二、选择题

2. 难度：中等

全集U=R，A={x∈N|x²-4x+3≤0}，B={x∈R|x²+x-6=0}，则图中阴影表示的集合为（ ）

A．{2}
B．{3}
C．{-3，2}
D．{-2，3}

3. 难度：中等

若复数（z是复数，i为虚数单位），则复数=（ ）
A．9+i
B．9-i
C．2+i
D．2-i

4. 难度：中等

已知点A（3，0），B（-，1），C（cosa，sina），O（0，0），若||=，a∈（0，π），则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=-2010，-=2，则S₂₀₁₀=（ ）．
A．-2008
B．2008
C．-2010
D．2010

6. 难度：中等

如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若函数f（x）=3ax-2a+1在区间[-1，1]上没有零点，则函数g（x）=（a+1）（x³-3x+4）的递减区间是（ ）
A．（-∞，-1）
B．（1，+∞）
C．（-1，1）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

8. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知圆C：x²+y²=4（x≥0，y≥0）与函数f（x）=log₂x，g（x）=2^x的图象分别交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁²+x₂²等于（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2

10. 难度：中等

如图所示是三棱锥D-ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

设第一象限内的点（x，y）满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为40，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．4

12. 难度：中等

甲、乙、丙、丁4人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站3人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ）
A．2394
B．2401
C．2395
D．2402

13. 难度：中等

关于函数f（x）=和实数m，n的下列结论中正确的是（ ）
A．若-3m＜n，则f（m）＜f（n）
B．若m＜n，则f（m）＜f（n）
C．若f（m）＜f（n），则m³＜n³
D．若f（m）＜f（n），则m²＜n²

三、填空题

14. 难度：中等

已知（x-）⁸展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是    ．

15. 难度：中等

如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x²和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是    ．

16. 难度：中等

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA₁=2，点G与E分别为线段A₁B₁和C₁C的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值是    ．

17. 难度：中等

设点P（x，y）满足：，则的取值范围是    ．

四、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若的值．

19. 难度：中等

口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球，每次摸出一个，规则如下：①若一方摸出一个红球，则此人继续进行下一次摸球；若一方摸出一个白球，则改换为由对方进行下一次摸球；②每一个摸球彼此相互独立，并约定由甲开始进行第一次摸球，求在前三次的摸球中：
（1）乙恰好摸到一个红球的概率；
（2）甲至少摸到一个红球的概率；
（3）甲摸到红球的次数ξ的分布列及数学期望．

20. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA=PB，∠ABC=，∠BCA=，点D、E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角正弦值；
（3）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由．

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率为．
（Ⅰ）过椭圆C的右焦点F且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦 长为1，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过椭圆C右焦点F的直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点P，且，求λ₁+λ₂的值．

22. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）当a＜0时，若∃x＞0，使f（x）≤0成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-（a+1）x，a∈（1，e]，证明：对∀x₁，x₂∈[1，a]，恒有|g（x₁）-g（x₂）|＜1．

23. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连接AD并延长，与过C点的切线交于P，OD与BC相交于点E．
（Ⅰ）求证：OE=AC；
（Ⅱ）求证：=．

24. 难度：中等

已知直线l的参数方程为（t为参数，α为倾斜角，且α）与曲线C：交于A、B两点．
（1）写出直线l的一般方程及直线l通过的定点P的坐标；
（2）求|PA|•|PB|的值．