2010-2011学年湖北省咸宁市赤壁市南鄂高中高二（下）期末数学模拟试卷1（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数z=1-i，则等于（ ）
A．-1+i
B．1+i
C．-1+2i
D．1+2i

2. 难度：中等

f（x）=x³-3x²+2在区间[-1，1]上的最大值是（ ）
A．-2
B．0
C．2
D．4

3. 难度：中等

有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f'（x）=0，那么x=x是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x³在x=0处的导数值f'（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x³的极值点．以上推理中（ ）
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．结论正确

4. 难度：中等

用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度

5. 难度：中等

证明1++…+（n∈N^*），假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是（ ）
A．1项
B．k-1项
C．k项
D．2^k项

6. 难度：中等

已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程式为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设抛物线y²=4x上一点P到直线x=-3的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8

8. 难度：中等

下列各式中，最小值等于2的是（ ）
A．
B．
C．
D．2^x+2^-x

9. 难度：中等

关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集不是空集，a的取值范围是（ ）
A．0＜a＜1
B．a＞1
C．0＜a≤1
D．a≥1

10. 难度：中等

，则A的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为    ．

12. 难度：中等

=    ，=    ．

13. 难度：中等

抛物线y²=-4x上任一点P到椭圆左顶点的最小距离为    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，A、B分别为直线x+y=2与x、y轴的交点，C为AB的中点．若抛物线y²=2px（p＞0）过点C，则焦点F到直线AB的距离为    ．

15. 难度：中等

如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如=+，=+，=+，…，则第10行第4个数（从左往右数）为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=16ln（1+x）+x²-10x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．

17. 难度：中等

设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：对于任意的x∈R都有f（x）+f（-x）=0，且x=1时f（x）取极小值-．
（1）f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直：

18. 难度：中等

设函数f（x）=x-ae^x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围．

19. 难度：中等

在数列{a_n}中，，．
（Ⅰ）求S₁，S₂，S₃的值；
（Ⅱ）猜想S_n的表达式，并证明你的猜想．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足2S_n=a_n²+n，a_n＞0（n∈N*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想{a_n}的通项公式，并加以证明；
（Ⅲ）设x＞0，y＞0，且x+y=1，证明：≤．

21. 难度：中等

某商场预计，2010年1月份起前x个月顾客对某种商品的需求总量p（x）（单位：件）与x的关系近似地满足p（x）=x（x+1）（39-2x），（x∈N^*，且x≤12）．该商品第x月的进货单价q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=．
（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与x的函数关系式；
（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场2010年第几月份销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？

22. 难度：中等

如图，已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，直线l₁：x=2，直线l₂：y=3tx（其中-1＜t＜1，t为数）；．若直线l₂与函数f（x）的图象以及直线l₁，l₂与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．
（1）求y=f（x）；  
（2）求阴影面积s关于t的函数y=s（t）的解析式；（3）若过点A（1，m），m≠4可作曲线y=s（t），t∈R的三条切线，求实数m的取值范围．